Dubbi su un esercizio sul grafico di un condensatore

Messaggioda **emailyou** » 10 mar 2011, 18:57

Salve,
premetto che apprezzo molto il vostro forum, in quanto è uno dei pochi nel web che garantisce serietà ed esperienza, a tale occasione vorrei esporvi un mio dubbio. Di recente ho svolto questo esercizio e vorrei affidarmi alla vostra preparazione per capire se esso è giusto oppure sono presenti delle imprecisioni. Per me è molto importante poiché vorrei capire la mia reale preparazione in vista di un esame.

Testo dell'esercizio:
Determinare le equazioni e tracciare i grafici che descrivono l'evoluzione nel tempo della tensione del condensatore C (nel verso come indicato in figura) a partire dall'istante to = 0 sapendo che T1 e T2 si chiudono rispettivamente a 4 e 6 secondi dopo essere stati aperti per un tempo assai lungo.

: esercizio-resized.jpg (17.67 KiB) Visto 3408 volte

____________
Svolgimento provato da me:

Come prima cosa ho considerato il primo istante di tempo, ovvero quando T1 e T2 sono aperti e quindi da t€(-∞ , 0)
Quindi scollego il condensatore dal circuito applicando Thevenin e applico poi millman per Trovare $V_{R3}$ , successivamente con una LKT alla maglia di destra mi trovo $V_{AB}$ .

: Untitled-1.jpg (16.24 KiB) Visto 3408 volte

$V_{R3}=\frac{\frac{E_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}+R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}=5.95V$

Successivamente uso come detto la LKT alla seconda maglia per trovare $V_{AB}$
$V_{R3} - V_{AB} - E_{6} = 0$

$V_{AB} = -54.05 V$

$V_{AB} = E_{TH}$

Poi utilizzo la formula $V_{C}(t)=E_{TH} + (V_{0} - E_{TH}) e^\frac{-(t-t_{0})}{{T}}$ per calcolare la $V_{C}(t)$ per il primo istante del condensatore che sarà uguale a:
$V_{C}(t)= E_{TH} = -54.05$

___
Dopo vado al secondo istante cioè t € (0 , 4) con T1 chiuso e T2 aperto

$R_{EQ}= R_{6}+ R_{7} = 1700$

$I=\frac{E_{6}}{R_{EQ}}=0.035 A$

$V_{AB}= E_{6} - R_{EQ} * I= 0.5 V = E_{TH}$

$V_{C}(t)=E_{TH} + (V_{0} - E_{TH}) e^\frac{-(t-t_{0})}{{T}}$

$T=R_{EQ}* C= 1700*0.450=765$

$V_{C}(t)=0.5 + (-54.05 - 0.5) e^\frac{-4-0}{{765}}=-53.765 V$

_____
Passo poi al terzo istante ovvero con t € (4 , 6 ) e con T1 e T2 chiusi
Immagine

Applico millman per trovarmi $V_{1}$

$V_{1}=\frac{ \frac{E_{5}} {R_{5}}+\frac{E_{6}} {R_{6}} } {\frac{1}{R_{5}}+\frac{1}{R_{6}}}=45V$

$V_{AB}=V_{1}=E_{TH}=45V$

$R_{EQ}= (R_{5} // R_{6})+R_{7}=1600$

T= 1600*0.45 =720

$V_{C}(t)=45 + (-53.765 - 45) e^\frac{-(6-4)}{{720}}=-53.49 V$

________
Infine vi posto il grafico dell'andamento della $V_{C}(t)$ disegnato da me

Immagine

Ci ho messo parecchio tempo per postare i minimi dettagli :mrgreen:

e capire come funzionava il forum, spero che sia valsa la pena :)

Vorrei ringraziarvi in anticipo per una eventuale risposta
Saluti

Messaggioda **RenzoDF** » 10 mar 2011, 19:17

Ora non ho tempo per verificare i tuoi calcoli, ma nel frattempo per vedere se sono corretti potresti provare a simulare con LTspice, usando gli interruttori comandati ;-)

Vedi
viewtopic.php?f=2&t=20616&p=152694&hilit=interruttori+LTspice#p152694

... non e' indispensabile costruirsi gli interruttori singoli come spiegato nel post, basta utilizzizzare due coppie ON-OFF usando solo i due OFF, scaricandoti questo zip

TIME CONTROLLED SWITCH.zip: (1.2 KiB) Scaricato 131 volte

Messaggioda **emailyou** » 10 mar 2011, 20:56

Ti ringrazio, adesso provo, tuttavia i miei problemi sono nel capire come funziona un condensatore (e anche un induttore) e poi disegnarne il grafico, ecco perché ho postato tutto l'esercizio
Grazie ancora ciao

Messaggioda **RenzoDF** » 10 mar 2011, 21:52

Direi che hai fatto un po' di confusione con quelle freccie delle tensioni ; usa il + e il -, dammi retta; detto questo
a) qual'e' la convenzione per la vc ? ...
b) non serviva Millman per t<0, bastava un partitore di tensione e poi sommare (algebricamente) i 60 volt
c) non devi parlare di "primo istante" per t<0, e' un'intervallo di tempo per di piu' infinito, e non devi trovare nessuna funzione vc(t), in quanto vc(t) si e' stabilizzata su un valore costante che viene normalmente indicati come vc(0-)

Messaggioda **emailyou** » 11 mar 2011, 2:23

RenzoDF ha scritto:Direi che hai fatto un po' di confusione con quelle freccie delle tensioni ; usa il + e il -, dammi retta; detto questo
a) qual'e' la convenzione per la vc ? ...
b) non serviva Millman per t<0, bastava un partitore di tensione e poi sommare (algebricamente) i 60 volt
c) non devi parlare di "primo istante" per t<0, e' un'intervallo di tempo per di piu' infinito, e non devi trovare nessuna funzione vc(t), in quanto vc(t) si e' stabilizzata su un valore costante che viene normalmente indicati come vc(0-)

Sulle frecce hai ragione, meglio il + e il -
a)Per quanto riguarda le convensioni sono tutte dell'ultilizzatore per resistori e condensatore mentre del generatore per i generatori
b)ammetto di essermi complicato un po la vita con Millman, era meglio col partitore, ma tuttavia è sbagliato usare Millman? Oppure è solo poco ottimale.
c) adesso comprendo perfettamente

Inoltre volevo chiedere se per calcolare la $V_{AB}$ per l'istante t€(0,4) è giusto procedere in questo modo:
Immagine

$R_{EQ}= R_{6}+ R_{7} = 1700$

$I=\frac{E_{6}}{R_{EQ}}=0.035 A$

$V_{AB}= E_{6} - R_{EQ} * I= 0.5 V = E_{TH}$

$V_{C}(t)=E_{TH} + (V_{0} - E_{TH}) e^\frac{-(t-t_{0})}{{T}}$

$T=R_{EQ}* C= 1700*0.450=765$

$V_{C}(t)=0.5 + (-54.05 - 0.5) e^\frac{-4-0}{{765}}=-53.765 V$

Grazie ancora per le risposte

Messaggioda **RenzoDF** » 11 mar 2011, 10:16

emailyou ha scritto:a)Per quanto riguarda le convensioni sono tutte dell'ultilizzatore per resistori e condensatore mentre del generatore per i generatori

sapere questo non aiuta se non e' fissato il verso scelto per le correnti .

emailyou ha scritto:b)ammetto di essermi complicato un po la vita con Millman, era meglio col partitore, ma tuttavia è sbagliato usare Millman? Oppure è solo poco ottimale.

non e' sbagliato, e' solo inutilmente complesso

emailyou ha scritto:Inoltre volevo chiedere se per calcolare la $V_{AB}$ per l'istante t€(0,4) è giusto procedere in questo modo:

se V0 rappresenta la tensione vc(0), sapendo che il condensatore per t->00 si carichera' alla tensione pari al valore della f.e.m. di E6=60 V, bastera' scrivere

$v_{C}(t)=(V_{0}-V_{\infty })e^{-\frac{t}{\tau }}+V_{\infty }$

NB per Thevenin la ETh e' pari a E6, e la RTh=R6+R7; ripeto, occhio ai segni, se scrivi -54 vuol dire che hai assunto positivo il morsetto di sinistra per C (nel primo schema), mentre in quest'ultimo lo metti a destra e di conseguenza V0=+54 ;-)

================ Edit: 14:50 -> visto che ho un po' di tempo proseguo con due calcoli ======

Con la convenzione da te adottata nel primo disegno, dove il positivo e' "preso" a destra, la tensione iniziale sul condensatore V0=59,05 V (o meglio 54,0476) sara' costante dai "secoli dei secoli" fino a t=4 s, istante nel quale la chiusura di T1 porta vc(t) ad evolvere verso i 60 volt finali di E6 con un andamento esponenziale, fino al tempo t=6s, con andamento

$v_{C}(t)=(54,0476-60)e^{-\frac{t-4}{765}}+60$

che pero', vista l'elevata costante di tempo, sara' praticamente lineare e al tempo t=6 s raggiungera' i 54,0631 V.
Da questo istante, a causa della chiusura di T2, il condensatore partendo da una nuova V0=54,0631 evolvera' verso i 45 volt che hai correttamente calcolato con Millman, con un nuovo andamento esponenziale esprimibile come

$v_{C}(t)=(54,0631-45)e^{-\frac{t-6}{720}}+45$

ma avra' bisogno di piu' di 50 minuti per stabilizzarsi a detto valore.

Se poi ho tempo simulo con LTspice

Messaggioda **emailyou** » 11 mar 2011, 16:10

Ti ringrazio molto, davvero mi sei molto utile. Quindi tutto sommato, a parte qualche piccola correzione, non sono messo poi così male.. Per quanto riguarda il grafico è giusto mettere nell'ascissa i valori di t ovvero 4, 6 e 5T ovvero il regime? E nelle ordinate i valori di $V_{C}(t)$ trovati, per poi infine tracciare la linea?

Messaggioda **RenzoDF** » 11 mar 2011, 16:50

Ecco la simulazione effettuata usando i Time Switch; vista il differente orsine di grandezza fra tempi di chiusura degli interruttori e costanti di tempo sono necessariae due simulazioni, una .tran10 e una .tran3000

Tracciato lo schema e impostati i tempi di chiusura dei due interruttori

: 2011-03-11_163319.gif (7.14 KiB) Visto 3272 volte

simuliamo a 10 secondi per visualizzare le transizioni dovute alla chiusura di T1 e T2

: 2011-03-11_163345.gif (9.28 KiB) Visto 3273 volte

ed infine simuliamo a 3000 secondi per visualizzare l'andamento asintotico verso i 45 volt.

: 2011-03-11_163534.gif (8.58 KiB) Visto 3272 volte

Per chi volesse provare posto le librerie relative

TIME CONTROLLED SWITCH.zip: (1.2 KiB) Scaricato 117 volte

per avere gli interruttori singoli
viewtopic.php?f=2&t=20616&p=152694&hilit=interruttori+LTspice#p152694

Messaggioda **emailyou** » 12 mar 2011, 19:59

Perfetto, ho seguito la tua guida per l'interruttore singolo e ho fatto il grafico, ma tuttavia mi esce molto strano nonostante abbia inserito per es. come T ON=4 e T OFF=3000, tipo una linea continua per zero che ha dei picchi strani, quindi molto diverso da quello postato da te, sono convinto che c'è un errore, magari nelle impostazioni, ma non riesco ad individuarlo.

In ogni caso il grafico e i calcoli che avevo postato io in precedenza sono sbagliati?

Messaggioda **RenzoDF** » 12 mar 2011, 23:17

emailyou ha scritto:... tuttavia mi esce molto strano nonostante abbia inserito per es. come T ON=4 e T OFF=3000, tipo una linea continua per zero che ha dei picchi strani, ... sono convinto che c'è un errore, magari nelle impostazioni, ma non riesco ad individuarlo.

Se posti il file .asc (compresso perche' altrimenti non accettato come allegato) ci do un occhio.

emailyou ha scritto:In ogni caso il grafico e i calcoli che avevo postato io in precedenza sono sbagliati?

Si, e come ti dicevo ci sono diversi errori, ma non sto a specificare quali, in quanto ricavabili da quanto ti ho gia' scritto nei precedenti post.

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Dubbi su un esercizio sul grafico di un condensatore

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