ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **sebago** » 5 lug 2011, 8:31

Salve a tutti.
Durante gli esami di maturità ho conosciuto un collega che mi ha fatto vedere i testi di una gara a squadre delle olimpiadi di matematica. Ne ho trovato uno simpatico:
data la relazione
$f(x)+ f(\frac{1}{1-x})=x$ con $x\neq 0\; e\; x\neq 1$
determinare f(10)

.
Per un giorno non ne sono venuto a capo perché mi intestardivo a ...
Sono curioso di vedere quanti millisecondi ci impiegheranno i soliti geniacci di EY
Saluti

da **RenzoDF** » 5 lug 2011, 9:27

Troppo facile ... la lascio a Isidoro :mrgreen:

da **lucbie** » 5 lug 2011, 12:09

Beh, ho ricavato queste due relazioni:

$f(10)=10-f(-\frac{1}{9})$

$f(10)=\frac{9}{10}-f(\frac{9}{10})$

Poi ho riapplicato la relazione data usando -1/9 :

$f(-1/9)=-\frac{1}{9}-f(\frac{1}{1+\frac{1}{9}})=-\frac{1}{9}-f(\frac{9}{10})$

La prima si può riscrivere quindi così:

$f(10)=10+\frac{1}{9}+f(\frac{9}{10})=\frac{91}{9}+f(\frac{9}{10})$

La seconda con questa risultano due equazioni in due incognite.

$y=\frac{91}{9}+x$
$y=\frac{9}{10}-x$

Da cui risulta 991/180 .

da **sebago** » 5 lug 2011, 13:04

da **alev** » 5 lug 2011, 13:26

ho provato a seguire

lucbie e fino alle due equazioni in due incognite nulla da eccepire, ma non ho capito come si arriva al risultato finale; è sicuramente banale ma non lo vedo :oops:

Ciao,
Alessandro

da **lucbie** » 5 lug 2011, 14:58

Beh, premesso che x corrisponde a $f(\frac{9}{10})$ e y corrisponde a f(10)

e siccome mi interessa trovare y, riscrivo le equazioni esplicitando x:
$x=y-\frac{91}{9}$

$x=\frac{9}{10}-y$

Uguaglio i termini a destra e ottengo:
$y-\frac{91}{9}=\frac{9}{10}-y$

$2y=\frac{9}{10}+\frac{91}{9}$

$y=\frac{81+910}{180}$