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da **RenzoDF** » 19 lug 2011, 10:28

alex0211 ha scritto:Aspetto comunque curiosissimo il metodo dell'idraulico

Ieri il sonno mi ha confuso uno dei due neuroni rimasti e l'altro e' andato in "overload", ma ogni idraulico ha sempre un "pappagallo" di riserva, e il mio si chiama Millman; in sostanza trasformato il triangolo di resistori di sinistra in stella, la rete si semplifica cosi'

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove

$Z_{1}=\frac{1}{s}+\frac{2}{5}\quad \quad Z_{2}=s+\frac{2}{5}\quad \quad Z_{3}=\frac{14}{5}\quad \quad E_{1}=\frac{1}{s}\quad \quad E_{2}=1$

a questo punto si puo' scrivere direttamente e solo simbolicamente, "senza calcolo ferire", la corrente nell'induttore come

$I_{L}=-(V_{AB}-E_{2})Y_{2}=\left( E_{2}-\frac{E_{1}Y_{1}+E_{2}Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}} \right)Y_{2}=\frac{E_{2}(Y_{1}+Y_{3})-E_{1}Y_{1}}{\frac{Y_{1}}{Y_{2}}+1+\frac{Y_{3}}{Y_{2}}}$

$=\frac{E_{2}(Z_{2}+Z_{3})-E_{1}Z_{3}}{Z_{1}(Z_{2}+Z_{3})+Z_{2}Z_{3}}$

per passare poi alla semplice espressione numerica

$I_{L}=\frac{\frac{16}{5}+\frac{19}{5s}}{\frac{14}{5}\left( 2s+\frac{1}{s}+\frac{4}{5} \right)+\left( 2s+\frac{2}{5} \right)\left( \frac{1}{s}+\frac{2}{5} \right)}=\frac{16s+19}{32s^{2}+22s+16}$

non scomodando ne Cramer ne il buon Sarrus ;-)

Rimandiamo quindi l'applicazione del Teorema dell'idraulico ad una rete piu' adatta.

da **alex0211** » 19 lug 2011, 15:29

Ahhh Millman!!
(Colgo l'occasione per scusarmi con gli admin per le numerose citazioni :) )

Comunque, personalmente non mi azzarderei a usare Millman in quanto non sono molto pratico di questo metodo e rischierei di fare moltissima confusione nel ridisegnare il circuito (specie in sede d'esame). Ciò non toglie però che approfondirò senz'altro (magari con piu calma ) questo metodo e la relativa ri-scrittura delle impedenze...visto che francamente, mi sembra molto piu semplice e immediato come metodo!

btw mi interessava capire bene questo passaggio di Laplace, visto che aihmè è anche molto oggetto dell'esame orale e ho notato (ma perche poi se si usano i CAS?) che sta molto a "cuore" del professore.
In particolare, da qui
$\frac{1}{2}\frac{s+\frac{19}{16}}{s^{2}+\frac{11}{16}s+\frac{1}{2}}$

a qui? how?

$\frac{1}{2}\frac{\left( s+\frac{11}{32} \right)+\frac{19}{16}-\frac{11}{32}}{\left( s+\frac{11}{32} \right)^{2}+\frac{1}{2}-\left( \frac{11}{32} \right)^{2}}=\frac{1}{2}\frac{\left( s+\frac{11}{32} \right)+\frac{19}{16}-\frac{11}{32}}{\left( s+\frac{11}{32} \right)^{2}+\frac{1}{2}-\left( \frac{11}{32} \right)^{2}}=\frac{1}{2}\frac{\left( s+\frac{11}{32} \right)+\frac{27}{32}}{\left( s+\frac{11}{32} \right)^{2}+\frac{\text{391}}{\text{1024}}}$

stanotte dopo aver letto la risposta c'ho pensato su molto, ma non ho trovato alcuna risposta (ho anche riprovato a risolverlo questa mattina ma niente...l'equazione intendo!)

da **RenzoDF** » 19 lug 2011, 15:37

Per la semplice ragione che vogliamo vedere nella somma

$s^{2}+\frac{11}{16}s$

un quadrato e un doppio prodotto, e di conseguenza ci procuriamo il secondo quadrato che ci manca togliendolo a 1/2

$\frac{1}{2}-\left( \frac{11}{32} \right)^{2}$

per arrivare a scrivere a denominatore

$\left( s+\frac{11}{32} \right)^{2}$

fatto cio' cerchiamo di trasformare il numeratore per avere ancora lo stesso monomio ottenuto a denominatore

$\left( s+\frac{11}{32} \right)$

la s ce l'abbiamo e quello che ci manca lo togliamo a 19/16

$\frac{19}{16}-\frac{11}{32}$

Scusa ma c'era un 2 di troppo nelle formule, ora ho corretto

BTW io senza sapere usare Millman non ci starei proprio ;-)

da **alex0211** » 19 lug 2011, 16:18

ok, è molto piu chiaro ora.. ma quindi quel $11\over32$ aggiunto a denominatore per far dimensionare il quadrato, per conformità l'abbiamo aggiunto anche sopra? o sono due operazioni distinte?

da **RenzoDF** » 19 lug 2011, 18:41

alex0211 ha scritto:ok, è molto piu chiaro ora.. ma quindi quel $11\over32$ aggiunto a denominatore per far dimensionare il quadrato, per conformità l'abbiamo aggiunto anche sopra? o sono due operazioni distinte?

Certo, lo facciamo per arrivare a queste forme

$\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\quad \quad \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}$

delle quali conosciamo l'antitrasformata, rispettivamente

$e^{-at}\cos (bt)\quad \quad e^{-at}\sin (bt)$

non le hai mai viste?

da **alex0211** » 19 lug 2011, 18:51

sisi....le antitrasformate notevoli le conosco...era solo un dubbio di pratica trasformazione.
Tuttavia, devo esercitarmi parecchio su queste operazioni..perche ho visto per esempio nel caso di un generatore nella forma $V_g=A\sin(\omega t)$ la corrispettiva di laplace è improponibile............

da **RenzoDF** » 19 lug 2011, 19:04

alex0211 ha scritto:... ho visto per esempio nel caso di un generatore nella forma $V_g=A\sin(\omega t)$ la corrispettiva di laplace è improponibile............

In che senso? :shock:

... stiamo parlando proprio di "lei" in questo post.

da **alex0211** » 19 lug 2011, 19:12

RenzoDF ha scritto:In che senso?

Perdonami, mi sono espresso male.

Intendevo dire che quando nella matrice si esprime il generatore di tensione (se presente) nell'equazione alle maglie, nel caso di generatore di tensione continua lo si esprime con $V_g(s)={{V_g}\over{ s}}$ mentre nel caso della tensione alternata, e dunque nella forma sinusoidale, nella matrice lo si esprime con $V_g(s)={{s}\over{ s^2 + 1}}$ che a prima vista sembra innocuo...fin quando non si eseguono i calcoli nella matrice! stavo giustappunto vedendo un esempio sul libro con un generatore di corrente sinusoidale e nonostante avesse solo due elementi reattivi l'equazione del determinante veniva così : 8s^4+5s^3+11s^2+5s + 3

(chiuso piccolo ot :P )....

da **RenzoDF** » 21 lug 2011, 15:44

alex0211 ha scritto:... Intendevo dire che quando nella matrice si esprime il generatore di tensione (se presente) nell'equazione alle maglie, ... nel caso della tensione alternata, e dunque nella forma sinusoidale... che a prima vista sembra innocuo...fin quando non si eseguono i calcoli nella matrice!

Perfettamente d'accordo con te Alex! :ok:

... e' proprio per quella ragione che uso quasi sempre la classica soluzione attraverso le equazioni differenziali ;-)

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