ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **delgrosso** » 5 ago 2011, 17:59

Salve a tutti,

qualcuno mi potrebbe indicare un link dove posso trovare la dimostrazione della formula del coefficiente di autoinduzione per unità di lunghezza:

l=2(lampada + 0,46log(D/r))*10^-6

da **ildoghy** » 5 ago 2011, 18:25

Lampada?

da **delgrosso** » 5 ago 2011, 18:39

si ho sbagliato lambda :) pensavo che si capiva lo stesso

da **RenzoDF** » 5 ago 2011, 19:15

Il coefficiente di autoinduzione specifico per ogni singolo filo di una coppia di fili paralleli e' dato dalla somma di due contributi: quello esterno e quello interno al conduttore.

Per l'esterno si fa presto

$\begin{align} & B=\mu _{0}H=\mu _{0}\frac{I}{2\pi x} \\ & L_{e}=\frac{\Phi_c }{I}=\frac{1}{I}\int\limits_{r}^{D}{B(x)\,\text{d}x}=\frac{\mu _{0}}{2\pi }\int\limits_{r}^{D}{\frac{1}{x}\,\,\text{d}x}=\frac{\mu _{0}}{2\pi }\ln \frac{D}{r} \\ \end{align}$

per quello interno il calcolo e' un po' piu' complesso e conviene usare il metodo energetico, integrando l'energia magnetica accumulata in un tubo di lunghezza unitaria, raggio x e spessore dx

$\text{d}w=\frac{B^{2}}{2\mu _{0}}2\pi x\,\text{d}x=\frac{\pi }{\mu _{0}}\left( \mu _{0}\frac{I_{x}}{2\pi x} \right)^{2}x\,\text{d}x=\frac{\mu _{0}}{4\pi x^{2}}\left( I\frac{x^{2}}{r^{2}} \right)^{2}x\,\text{d}x=\frac{\mu _{0}}{4\pi }I^{2}\frac{x^{3}}{r^{4}}\text{d}x$

$L_{i}=\frac{2W}{I^{2}}=\frac{2}{I^{2}}\int\limits_{0}^{r}{\text{d}w}=\frac{\mu _{0}}{2\pi r^{4}}\int\limits_{0}^{r}{x^{3}\text{d}x}=\frac{\mu _{0}}{2\pi r^{4}}\frac{r^{4}}{4}=\frac{\mu _{0}}{8\pi }$

ed infine, sommando i contributi, troviamo la relazione finale

$L=L_{i}+L_{e}=\frac{\mu _{0}}{8\pi }+\frac{\mu _{0}}{2\pi }\ln \frac{D}{r}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\left( \frac{1}{2}+2\ln \frac{D}{r} \right)=\left( \frac{1}{2}+2\ln \frac{D}{r} \right)\times 10^{-7}\ \frac{\text{H}}{\text{m}}$

e, semplificando

$L=\frac{1}{20}+\frac{1}{5}\ln \frac{D}{r}\ =\frac{1}{20}+\frac{1}{5\log _{10}e}\log _{10}\frac{D}{r}\approx \left( 0.05+0.46\log _{10}\frac{D}{r} \right)\ \frac{\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ H}}{\text{m}}$

da **delgrosso** » 9 ago 2011, 15:41

Grazie mille RenzoDF

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coefficiente di autoinduzione dimostrazione

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