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Equazioni differenziali

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[1] Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 18 dic 2011, 13:37

Ciao a tutti ho un problema sull'equazioni differenziali ordinarie di primo grado:

Un esercizio in particolare mi dice "per quali valori del dato iniziale y_{0} la soluzione dell'equazione :"

y\prime (x)=\ y^{4}-y^{2},
y(0)=\ y_{0}

esiste in tutto l'intervallo [0,\ +\infty) .

Come si procede?

grazie mille :)
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[2] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utenteasdf » 18 dic 2011, 13:50

Foto UtenteGia1988, ho corretto il tuo post riscrivendo le espressioni matematiche che avevi inserito con Latex.
Le espressioni matematiche vanno inserite con Latex, così risultano più chiare.

Per scrivere in Latex puoi usare questo editor esterno:

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Scrivi lì tutte le espressioni matematiche che desideri, poi le ricopi ed incolli nel riquadro dove scrivi il messaggio, le riselezioni e clicchi sul pulsante tex presente nella pulsantiera in alto al riquadro del messaggio. Cioè, in questo modo:

Codice: Seleziona tutto
[tex]y\prime(x)=\ y^{4}-y^{2}[/tex],
[tex]y(0)=\ y_{0}[/tex]
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[3] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utenteasdf » 18 dic 2011, 14:03

Perdonami, ho solo qualche problema con l'apostrofo, che non so perché non esce.
Vedrò di informarmi meglio e di risolvere il problema.

Ad ogni modo buona prosecuzione di topic.
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[4] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 dic 2011, 14:14

Per l'apice usa
Codice: Seleziona tutto
\prime

per esempio
y\prime
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[5] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentepalliit » 18 dic 2011, 14:54

Io ho provato a risolverla così: risolvendo per variabili separabili l'equazione
\int \frac{dy}{y^{2}(y^{2}-1)}=\int dx si trova: x=\frac{1}{y}+ln\sqrt{\frac{\left | y-1 \right |}{\left | y+1 \right |}}+C ,
che pare un po' arduo scrivere nella forma y=y(x) per cui conviene tenersela come x=x(y); la condizione al contorno fissa la costante C al valore:
C=-\frac{1}{y_{0}}-ln\sqrt{\frac{\left | y_{0}-1 \right |}{\left | y_{0}+1 \right |}} ;

ora la domanda va posta in questi termini: per quale valori della costante C la funzione x(y) ha immagine non negativa? Dato che nell'intervallo y\in ]0,1[ la funzione x(y) è continua, e inoltre, indipendentemente dal valore della costante C vale:

\lim_{y\rightarrow 0^{+}}x(y)=+\infty , e \lim_{y\rightarrow 1^{-}}x(y)=-\infty, allora esiste certamente (teorema di esistenza degli zeri)
almeno un valore (diciamo che il più vicino a zero sia \beta) di y compreso tra 0 ed 1 per cui si ha x=0, e la funzione x(y) per valori di y compresi tra 0 e \beta assume tutti i possibili valori maggiori o uguali a zero, per cui l'unica condizione che la costante C deve soddisfare è esistere, il che guardando come è definita si verifica se y_{0} è diverso da 0, da +1 e da -1.
Se sbaglio spero qualcuno mi corregga perché sono curioso di sapere come va a finire. Ma quanto è bello questo forum??
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[6] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentealev » 18 dic 2011, 14:57

La tua richiesta di
Gia1988 ha scritto:Come si procede?

mi sembra eccessiva, di solito la pappa pronta non serve a nulla perché non spinge al ragionamento.

Dall'esercizio, immagino tu conosca almeno un po' i concetti di derivata, differenziale ed integrale; come potresti usare questi strumenti?
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[7] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 18 dic 2011, 15:06

Alev hai ragione. in effetti fino a calcolare la soluzione x=.....detta da pallit sono riuscito ma dopo mi sono fermato perché nn ho idea di come si procede, nel senso che so che la soluzione al problema di Cauchy esiste se :
Th di Peano:
definendo il Problema come y\prime=\ f(x, y(x)),\ \  y(x_{0})=\ y_{0}
se f è continua esiste sempre almeno una soluzione al Problema definita in un intervallo (a,b) massimale.

EDIT Foto Utenteasdf: ti ho ricorretto le espressioni, usa Latex.
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[8] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentealev » 18 dic 2011, 15:10

perché continui a non usare LaTex, come ti è stato chiesto?
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[9] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utenteasdf » 18 dic 2011, 15:12

Foto UtenteGia1988 ti ho ricorretto nuovamente le espressioni scrivendotele in Latex.
Prima ti ho fornito anche il link dove scrivere le espressioni.
Ti invito, come ha già fatto Foto Utentealev, ad usarlo quel link, perché così il post che scrivi risulta maggiormente comprensibile.
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[10] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 18 dic 2011, 17:17

Scusate non ci ho fatto caso.
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