ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DirtyDeeds** » 18 dic 2011, 18:51

Per la derivata, come giustamente suggerito da

RenzoDF si può usare \prime, però forse è meglio metterlo come apice con ^:

Codice: Seleziona tutto: y^\prime

$y^\prime$

da **RenzoDF** » 18 dic 2011, 19:09

DirtyDeeds ha scritto:Per la derivata, ... forse è meglio metterlo come apice con ^:

Codice: Seleziona tutto
y^\prime

Hai perfettamente ragione! :ok:

da **palliit** » 19 dic 2011, 10:15

Gia1988 ha scritto: fino a calcolare la soluzione x=.....detta da pallit sono riuscito

...dirlo prima? ;-)

Comunque riguardando le mie conclusioni temo di aver fatto un po' di casino, non sono molto convinto che siano giuste

da **RenzoDF** » 19 dic 2011, 10:41

palliit ha scritto:... riguardando le mie conclusioni temo di aver fatto un po' di casino, non sono molto convinto che siano giuste

Si, lo penso anch'io; tanto per cominciare hai escluso due soluzioni certe y=1 e y=-1 ;-)

da **palliit** » 19 dic 2011, 11:19

(e anche y=0 ...)

da **Gia1988** » 19 dic 2011, 11:39

Forse non è importante ma l'esercizio recita proprio:" per quali valori del dato iniziale, la soluzione dell'equazione differenziale
$y\prime(x)=\ y^{4}-y^{2}$ ,
$y(0)=\ y_{0}$
esiste sull'intervallo [0,+inf)?
quindi forse non si deve calcolare la soluzione in modo esplicito...

da **Gia1988** » 19 dic 2011, 21:38

Io credo che si procede in questo modo:
dato il problema:

$y\prime(x)=\ y^{4}-y^{2}$ ,
$y(0)=\ y_{0}$

chiamo :
$f(y)=y^{4}-y^{2}=y^{2}(y^{2}-1)$

e determino i punti stazionari e il suo segno.
quindi i punti stazionari sono:

y=0,1,-1

ora nell'intervallo [-1,+1] la soluzione è costretta a rimanere all'interno di tale intervallo (soluzioni stazionarie) quindi ho una soluzione globale;
allo stesso modo per gli $y_{0}<-1$
poiché la funzione è crescente

Per gli $y_{0}>1$ la funzione è crescente e non esiste soluzione globale.
Per determinare il comportamento della funzione in quest'ultimo caso si può' utilizzare il teorema del confronto.
Puo' essere un modo per la risoluzione secondo voi?

da **palliit** » 19 dic 2011, 22:07

Non so, in effetti io ho provato a rivedere le cose e seguendo un altro ragionamento ho trovato che (considerando anche i tre integrali singolari) c'è una soluzione per $y_{0}\leq 1$ , ma è da un po' che non maneggio equazioni differenziali, è meglio se la conferma ti (e mi) arriva da qualcuno più credibile

da **Gia1988** » 19 dic 2011, 22:12

Comunque grazie mille per l'interessamento
:)

da **palliit** » 20 dic 2011, 13:55

Comunque, se tracci il grafico della funzione: $g(y)=\frac{1}{y}+\frac{1}{2}ln\left | \frac{y-1}{y+1} \right |$ vedi chiaramente che $x(y)=g(y)-g(y_{0})$ fornisce come immagine degli intervalli: ]- $\infty$ ,-1[ , ]-1, 0[ e ]0, +1[ insiemi ognuno dei quali contiene $\mathbb{R}_{0}^{+}$ per qualunque scelta di $y_{0}$ presa nel medesimo intervallo, cosa che non si può dire per l'intervallo ]+1, + $\infty$ [ a cui corrisponde un’immagine limitata superiormente. Se tengo conto anche dei tre integrali singolari, arrivo alla conclusione che ti ho detto.

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Equazioni differenziali

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