ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **caesar753** » 8 dic 2011, 13:11

Grazie mille a tutti, ora mi è in parte più chiaro, anche se a lezione abbiamo parlato solo di $\vec B$ e lo abbiamo sempre chiamato campo magnetico ...

da **RenzoDF** » 8 dic 2011, 13:59

caesar753 ha scritto:... anche se a lezione abbiamo parlato solo di $\vec B$ e lo abbiamo sempre chiamato campo magnetico ...

Potete sempre continuare a sbagliare, ma "le tavole della legge" sono queste
http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec04.html

da **caesar753** » 19 dic 2011, 17:36

mmh, ok, ho un altro problema, simile a quello del primo post, solo che stavolta la densità di carica superficiale non è costante ma varia lungo il disco secondo la legge $\sigma= kr$ con k costante positiva nota.
Per ricavare la densità di corrente non mi sembra ci siano problemi
$j= \frac{dq}{ds\ dt} = \frac{\sigma r dr d \phi}{dr\ dt} = kr^2 \omega\\ \vec j = (0, k r^2 \omega, 0)$
il problema è, al solito, la legge di Biot e Savart:

$\vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int{\frac{\vec j \wedge (\vec r - \vec r^*)}{|r-r^*|^3} d???$
innanzitutto non ho capito su cosa devo integrare, se sulla superficie, su r*, su r o su cos'altro ...
grazie dell'aiuto ...

da **RenzoDF** » 19 dic 2011, 18:06

da **caesar753** » 19 dic 2011, 18:37

ok, quindi cosa è quel dl?? posso pensare al disco come una infinità (continua) di spire in rotazione messe una dietro l'altra, quindi il mio dl potrebbe essere un $r* d \phi$ ? mi sembra di aver appena detto una stupidaggine ...

da **RenzoDF** » 19 dic 2011, 18:42

caesar753 ha scritto:ok, quindi cosa è quel dl??

Un tratto infinitesimo di L (circonferenza di raggio r)

caesar753 ha scritto:... posso pensare al disco come una infinità (continua) di spire in rotazione messe una dietro l'altra,...

si, ... una dentro l'altra !

caesar753 ha scritto:... quindi il mio dl potrebbe essere un $r* d \phi$ ? mi sembra di aver appena detto una stupidaggine ...

nessuna stupidaggine e' proprio pari a

$r\,\text{d}\phi$

... ma senza asterisco ;-)

da **caesar753** » 19 dic 2011, 23:32

Relax: allora ho fatto il conto ma non credo sia giusto, uso un sistema di coordinate polari cilindriche:
$\vec r - \vec r\ =\ (r, 0, z) \rightarrow \vec j \wedge (\vec r - \vec r)\ =\ (k \omega r^2 z, 0, -k \omega r^3)$
quindi devo integrare questo vettore in $r d \phi$ , quindi avrò due componenti, una radiale e una assiale

$B_r= \frac{\mu_0}{4 \pi}\ \int{\frac{k \omega z r^2}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}}\ r\ d \phi}$ e quindi
$B_r= \frac{\mu_0}{4 \pi}\ \frac{k \omega z r^3}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}} 2 \pi}\ =\ \frac{\mu_0}{2}\ \frac{k \omega r^3 z}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}}$

per la componente assiale invece

$B_z= \frac{\mu_0}{4 \pi}\ \int{\frac{k \omega r^3}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}}\ r\ d \phi}$ e quindi
$B_z= \frac{\mu_0}{4 \pi}\ {\frac{k \omega r^4}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}} 2 \pi\ =\ \frac{\mu_0}{2}\ \frac{k \omega r^4}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}}$
e quindi il campo magnetico, globalmente, sarà

$\vec B\ =\ (\frac{\mu_0}{2}\ \frac{k \omega r^3 z}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}},\ 0,\ \frac{\mu_0}{2}\ \frac{k \omega r^4}{\sqrt{(r^2 + z^2)^3}})$

è una cosa verosimile??

da **RenzoDF** » 21 dic 2011, 18:26

Forse non mi sono spiegato, le mie risposte [14] e [16] si riferivano solo all'integrazione necessaria per calcolare il campo infinitesimo dH (o l'induzione dB) sull'asse z dovuto alla corona circolare di raggio r e spessore infinitesimo dr percorsa da una corrente

$\text{d}I=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=\frac{\sigma \text{d}S}{T}=\sigma \,2\pi fr\,\text{d}r=\sigma \omega r\,\text{d}r$

ovvero al calcolo del campo relativo ad una spira circolare; a questo punto pero', bisogna integrare anche in r da 0 a R (raggio del disco), per totalizzare tutti i contributi di dette corone concentriche.

La differenza fra il primo caso a $\sigma$ costante e il secondo a $\sigma =kr$ sta solo nella potenza di r a numeratore della funzione da integrare, ma non puo' esserci componente radiale nemmeno nel secondo caso, vista la simmetria assiale della distribuzione di carica.

da **caesar753** » 15 giu 2012, 10:39

Dopo aver studiato per un anno le vie della Forza finalmente, forse sono riuscito a venire a capo a questo esercizio, lo scrivo perché quelli che in futuro se lo troveranno davanti (e con il nostro professore capiterà) sappiano cosa fare:
come detto nei post precedenti immagino il disco formato da un'infinità continua di anelli messi uno dentro l'altro. anelli nei quali scorre una corrente dI, la distribuzione presente sul disco è $\vec j\ =\ (0, kr^2\omega,\ 0)$ . Il campo magnetico di uno degli anelli anelli infinitesimi è

$\begin{array}{l} d \vec B\ =\ \frac{\mu_0 dI}{4\pi}\ \int{\frac{d \vec l\ \wedge\ (\vec r\ -\ \vec r^*)}{|r-r^*|^3}}\\ d\vec l\ =\ (0.\ rd\phi,\ 0)\\ \vec r\ -\ \vec r^*\ =\ (-r,\ 0,\ z)\\ d\vec l\ \wedge\ (\vec r\ -\ \vec r^*)\ =\ (rzd\phi.\ 0,\ r^2d\phi)\\ dB_z\ =\ =\ \frac{\mu_0 dI}{4\pi}\ \int{\frac{r^2d\phi}{(\sqrt{r^2\ +\ z^2})^3}}\ =\ \frac{\mu_0 dI}{4\pi}\ \frac{r^2\ 2\pi}{(\sqrt{r^2\ +\ z^2})^3}\ =\ \frac{\mu_0}{2} dI\ \frac{r^2}{(\sqrt{r^2\ +\ z^2})^3} \end{array}$
per avere il campo magnetico totale devo integrare l'elemento di corrente dI, che è dato da $dI\ =\ kr^2\omega dr$ e quindi
$\begin{array}{l} B_z\ =\ \int{dB_z}\ =\ \frac{\mu_0}{2}\ \int{\frac{r^2\ kr^2\omega}{(\sqrt{r^2\ +\ z^2})^3}\ dr}\ =\ \frac{\mu_0}{2}\ \int{\frac{kr^4\omega}{(\sqrt{r^2\ +\ z^2})^3}\ dr}\\ B_z=\ \frac{\mu_0 k\omega}{4}\ ( \frac{r^3\ +\ 3rz^2}{\sqrt{r^2\ +\ z^2}}\ - 3z^2\ \log{\sqrt{r^2\ +\ z^2}\ +r}) \end{array}$

la Forza è possente in questo calcolo ...

da **DirtyDeeds** » 15 giu 2012, 11:01

Bravo che condividi. Non ho controllato i conti, lo lascio fare a

RenzoDF

Se vuoi indicare la

con il simbolo di vettore sopra, ti conviene usare questo comando:

Codice: Seleziona tutto: \vec{\jmath}

che dà

$\vec{\jmath}$

Però per i vettori io preferisco il grassetto:

Codice: Seleziona tutto: \boldsymbol{j}

$\boldsymbol{j}$

\boldsymbol fa il grassetto corsivo, da usare per denotare le grandezze fisiche variabili.

PS: Che la forza sia con te, o Cesare :-P