Paradossi

[Piercarlo]

Nella teoria di ZF non hanno diritto di esistenza, gli assiomi non permettono di definirli. Nella teoria di VGB si chiamano classi, se non vado errato. Informalmente si parla tipicamente di classi.

Quindi classi di insiemi. Ok ma mi sa tanto che qua, con gli insiemi si stia ripetendo con attori diversi la storia dei numeri "immaginari": esistono, non sono affatto "immaginari" ma non si sa come "farli stare dentro con gli altri"... fin quando non si capisce che sono gli altri ad essere inclusi nei numeri complessi e non il contrario. Sta succedendo (o è già successo) qualcosa di simile anche per gli insiemi e le classi di insiemi?

Ciao
Piercarlo

[Candy]

Il paradosso è un problema che non esiste, simile all'erore di calcolo che forzatamente mette inpiedi il tranello numerico proposto da asdf.
Io non sono in grado di spiegar eal meglio quanto penso, forse sarebbe il caso di richiamare in causa clavicordo, che, mi sembra, si era già addentrato in questa strada più volte... ricordo il theread attorno al significato di "bit".

Il paradosso esiste solo per via dell'uso che facciamo della lingua con cui ci esprimiamo, per il significato ed i presupposti comuni che associamo ai vari termini, che ci permettono di esprimerci, ma che tuttavia non nascono da una vera e propria definizione, ma piuttosto dall'uso comune che se ne fa.
Nella immensa ignoranza in cui vivo, non mi sembra di vedere in natura dei paradossi... ma li percepisco solo nella mente di chi spende tempo a ragionarci sopra.

[Piercarlo]

mmm.... temo che le cose siano un po' più incasinate. E di paradossi ce ne sono di giganteschi già in natura. Il principale dei quali è, secondo me, il paradosso dell'evoluzione che, pur dando l'aria di essere frutto di un "progetto" in realtà non parte proprio da nessun progetto...

Ciao
Piercarlo

[Candy]

?

[Piercarlo]

Sono semplicemente partito dall'ultima frase del tuo post: che i paradossi si percepiscono solo nella mente di chi ci pensa sopra. Ora sul fatto che per accorgersi dei paradossi occorre rifletterci non ci piove ma questo non significa che essi non abbiano una loro esistenza propria ben definita, anzi! Esistono indipendentemente da noi e dal fatto che ci accorgiamo della loro esistenza o meno - tutto qui.

Ciao
Piercarlo

[DirtyDeeds]

Sta succedendo (o è già successo) qualcosa di simile anche per gli insiemi e le classi di insiemi?

No no, le due teorie non danno problemi come quelli che dici. Quella di NGB non la conosco nel dettaglio, per cui non ti so dire come avvenga la restrizione da classe a insieme. Per quella di ZF, esistono solo gli insiemi e gli insiemi possono essere definiti solo a partire dagli assiomi. Per esempio, un assioma che postula l'esistenza di un insieme è quello dell'insieme vuoto:



(Esiste un insieme a cui non appartiene nessun insieme)

Per arricchire la famiglia degli insiemi e per permettere di fare un po' di matematica bisogna però dare la possibilità di costruire insiemi anche a partire da delle proprietà. Ora una proprietà viene specificata da una formula con almeno una variabile libera: per esempio, se uno avesse già l'insieme dei numeri reali, potrebbe voler parlare dell'insieme dei numeri strettamente positivi, cioè di quegli insiemi tali che



Per dare tale possibilità e per evitare di finire nei paradossi, uno degli assiomi (o meglio, uno schema d'assiomi) che permette di definire degli insiemi attraverso una proprietà è l'assioma di separazione (Zermelo lo chiamò Aussonderung axiom), così costruito:



dove è una formula non contenente . In pratica questo assioma dice che esiste un insieme degli che posseggono la proprietà purché i) la proprietà non faccia riferimento a stesso, e ii) sia un sottoinsieme di un altro insieme (così si impedisce la costruzione di insiemi troppo "grandi").

[Piercarlo]

dove è una formula non contenente . In pratica questo assioma dice che esiste un insieme degli che posseggono la proprietà purché i) la proprietà non faccia riferimento a stesso, e ii) sia un sottoinsieme di un altro insieme (così si impedisce la costruzione di insiemi troppo "grandi").

Adesso è un po' più chiaro. In pratica, se ho capito bene, si rende, se non impossibile, "illegale" il paradosso del barbiere che rade quelli che non si radono da soli, impedendo al barbiere stesso di far parte dell'insieme della gente che si deve radere in qualche modo (da soli o aiutati da qualcuno). E' così?

Ciao
Piercarlo

[DirtyDeeds]

Sì, proprio così!

[Piercarlo]

Sì, proprio così!

Ok, solo un'ultima curiosità: questo sistema di dichiarare "illegali" certe inclusioni negli insiemi è giustificato da qualche principio o è giusto una convenzione che si assume come valida proprio allo scopo di non cadere in paradossi che manderebbero a gambe all'aria tutto quanto? Insomma è ancora matematica o sta già diventando giurisprudenza?

Ciao
Piercarlo

[DirtyDeeds]

Nessun libro di analisi presenta delle dimostrazioni facendo uso degli assiomi di ZF in quella forma, così come nessun libro di matematica presenta le dimostrazioni come se fossero derivazioni in qualche calcolo della deduzione naturale. Però l'idea è che vengano presentati i teoremi derivabili in modo formale da quegli assiomi, se uno avesse voglia di farlo.

Se vuoi approfondire, due libri molto interessanti e ben scritti, uno sul concetto di dimostrazione e uno sulla teoria degli insiemi sono i seguenti:

G. Lolli, QED. Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Boringhieri, 2005.

G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri, 1994. (Nella mia edizione c'è qualche errore nelle formule)

Il primo è particolarmente indicato a chi vuol capire un po' meglio che cosa sia una dimostrazione e quali siano le strategie dimostrative. Il secondo presenta sia la teoria di ZF sia la sua storia. Devo dire a IsidoroKZ di aggiungerli alla biblioteca