Il paradosso della botte di Pascal

[asdf]

Studiando in questi giorni fluidodinamica, mentre approfondivo determinate notizie in rete, passando di link in link sono finito in un link che trattava il paradosso idrostatico (con l'esempio della botte di Pascal) e ho pensato, giacché si parla di paradossi, di postare qui qualche fonte esplicativa, tra le varie presenti in rete di tale argomento, a titolo di esempio, per chi ne fosse interessato :
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Buona giornata a tutti.

[Candy]

Forse non ho letto bene, o non ne sono capace, e quindi ho capito male.
Se la pressione esercitata sul fondo dipende dalla quantità di liquido sovrastante, è chiaro che il valore critico di rottura lo si raggiunge sempre alla stessa altezza, (a parità di condizioni ambientali, come la temperatura del liquido e quindi, la densità).
Non capisco perché variando le dimensioni del tubo di immissione, dovrebbe cambiare il punto di rottura del fondo.

[asdf]

Ciao Candy .
Premetto che è la prima volta che mi accosto ad un argomento del genere in maniera più approfondita da quando sono all'università in quanto non è una materia "abituale" del mio corso di laurea, ma provo a risponderti secondo quello che ho capito, quindi potrò sbagliarmi nella mia spiegazione che ti consiglio di prendere molto "con le pinze" .

Se la pressione esercitata sul fondo dipende dalla quantità di liquido sovrastante

E' il contrario.
Nel primo link che ti ho postato c'è scritto che in accordo con la legge di Stevino :

"la pressione esercitata sul fondo di
un recipiente è indipendente dalla
quantità di fluido che la sovrasta, e
quindi dal peso della stessa, ma dipende
esclusivamente dall'affondamento della
superficie del fondo dal pelo libero."

Nella prima parte del link stesso c'è scritto :

" Si consideri una botte riempita d'acqua, la cui pressione sul fondo sia di poco
inferiore a quella limite di sopportazione della botte stessa. Se al di sopra
della botte (naturalmente chiusa) si pone un tubo sottile e lo si riempie
progressivamente d'acqua, raggiunta una quota limite la pressione del
fluido provoca la rottura della botte. Ponendo tubi di diametri sempre
maggiori e di svariate forme, si noterà che la botte non arriverà a rompersi
se non quando il fluido raggiunge la quota limite precedentemente
determinata"

Da quello che io ho capito, il paradosso è proprio in questo: cioè si è portati logicamente a pensare che inserendo quantità sempre più pesanti di acqua sovrastanti cambia anche la rottura della botte stessa (e che magari la rottura avviene prima quando si inseriscono quantità sempre più pesanti), ma invece non è così. Ed è da qui, credo, che nasce il paradosso.

Ho provato a cercare qualche altra fonte in rete e ti riporto un altro link a riguardo:
http://www.lngs.infn.it/calendario/pdf%20feb-dic/SETTEMBRE%20copy/LA%20LEGGE%20DI%20STEVINO.pdf
in cui è spiegato l'esempio della botte:

"una grossa botte piena di liquido, la cui pressione sul fondo sia di poco inferiore al limite
tollerabile dalla botte; in queste condizioni la botte non esplode, ma se ora collochiamo
nella parte superiore un sottile tubicino inserito nella botte e vi versiamo anche solo
poche gocce di liquido, la botte esplode perché l'ulteriore pressione esercitata, che
dipende solo dall'altezza h, si aggiunge a quella della grande quantità di liquido della
botte e ne supera il limite di rottura; un largo contenitore collegato superiormente alla
botte e riempito di liquido fino a un'altezza inferiore a quella limite del tubicino non la
farebbe esplodere pur essendo molto maggiore il peso del liquido aggiunto"

spero che questo ultimo link sia stato un po' più esplicativo dei precedenti.

Credo che però il parere illuminante di RenzoDF in questo contesto ci possa essere di grandissimo aiuto, quindi attendiamo anche un suo intervento in merito, anche perché vorrei capirne di più anch'io circa questo argomento.

[Robert8]

Il paradosso idraulico consiste nel confondere pressione con forza.
Una botte da 1 m cubo e altezza 1 m ha pressione interna (su pareti e fondo) di 100 g/cm quadro.
Una botte da 2 m cubi e stessa altezza ha la medesima pressione interna, infatti su un singolo cm quadro insiste la stessa colonna di 100 cm d'acqua del peso, appunto, di 100 g.

Nell'esperimento descrittivo del paradosso, supponendo di raggiungere il punto di rottura del fondo o delle pareti della botte aumentando la pressione di 10 g / cm quadri, se si usa:
- un tubo con sezione 1 cm quadri, occorrono 10 cm cubi di acqua,
- un tubo con sezione 10 cm quadri, occorrono 100 cm cubi di acqua.

[alev]

Infatti la pressione ha la dimensione di (F = Forza ed S = superficie).
Diminuendo la superficie, la pressione aumenta e, se aumenta la sezione/superficie, bisogna aumentare anche la forza per ottenere la stessa pressione.

[crestus]

Vero, ma è anche vero che stai semplificando troppo!

In idraulica c'è un concetto fondamentale : p.i.c.r. : Piano idrostatico dei carichi relativi. in associazione con il piano dei carichi assoluti (la cui differenza sta nella pressione atmosferica, se ricordo bene); il concetto del piano idrostatico si applica ai fluidi in quiete. in questo caso la pressione di una qualsiasi particella del fluido dipende solamente dalla quantità di liquido che lo sovrasta, e dalla densità dello stesso che, nel caso di fluido omogeneo, può essere trasformata in una informazione di profondità, senza commettere errori, a cui daremo il nome di "quota". Estendendo questo concetto troviamo che ogni particella che si trovi alla stessa quota sarà sottoposta alla stessa medesima pressione.

Inoltre la pressione è un concetto che è stato introdotto per svincolare l'informazione di forza dalla superficie: la pressione è definita come quantità di forza su unità di superficie.

una colonna di 10 cm di un certo materiale con una densità X produrrà una pressione sul fondo indipendente dal volume interessato. se facciamo dei conti "spannometrici" (ipotizziamo una densità X pari ad 1 e accelerazione di gravità unitaria) possiamo semplificare e scrivere ma e .
Ovviamente questa formula va intesa come direttamente proporzionale alla profondità o affondamento, meglio ancora se detto: in un fluido omogeneo la variazione di pressione dipende solamente dall'affondamento.

se analizziamo più in dettaglio:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

si nota che l'andamento della pressione all'aumento della quota (occhio all'asse!) è lineare, funzione della profondità e con andamento dipendente dalla densità.
ogni straterello infinitesimo risente della pressione dello straterello sovrastante, imprimendo a quello successivo la pressione che lo schiaccia caricata della quota che lo stesso straterello genera.

Se invece aggiungiamo il tubo di liquido sopra la botte:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La situazione cambia leggermente: la pressione a livello del "sopra" della botte, che prima era zero, ora è dipendente dalla pressione dell liquido che lo sovrasta. il contributo del liquido all'interno della botte e all'interno del tubicino si sommano! è come se il liquido nella botte venisse precaricato! la sommità della botte che prima si trovava a pressione nulla (in realtà a pressione ambiente) ora si trova forzato ad una pressione superiore. Di conseguenza la pressione sul fondo della botte risentirà di entrambe le porzioni di liquido!

Se il tuo problema è che non capisci come un volume piccolo (e quindi una piccola forza) possa generare la forza necessaria a rompere una botte, stà qui l'inghippo!
Il fluido è contenuto in un recipiente rigido. la rigidità comporta il fatto di poter sopportare qualsiasi forza ad esso applicata. Significa anche che (in maniera controintuitiva) è il barile stesso ad esercitare la forza che manda in pressione il liquido e lo fa impedendo al liquido di sfuggire alla forza sovrastante passando oltre la sua barriera.
Lo so è un concetto controintuitivo.

[DonJ]

Mi piace molto la piega che ha preso questo thread!

[alev]

Vero, ma è anche vero che stai semplificando troppo!

Non avevo inteso fare diversamente, ci mancherebbe
E sono contento di averti "aizzato", vista la tua spiegazione davvero interessante

Lo so è un concetto controintuitivo.

Che il barile rigido impedisca al liquido di sfuggire nell'esercizio della la sua forza, per me non è assolutamente controintuitivo

[clavicordo]

La spiegazione è simpatica, ma il mio (antipatico) rigorismo dimensionale mi fa leggermente rabbrividire di fronte alla formula p = F/A = V/A cioè F=V.

Non potresti, o pivello allo sbaraglio, scrivere la formula in modo "civile"?

Buona Befana a tutti!

[carloc]

Vorrei solo spezzare una lancia a favore dell'intuitività della cosa

vero è che pare "strano" che pochi grammi di liquido in un sottile tubicino possano generare una pressione e quindi forza "notevole" su tutte le pareti del barile...

ma il punto sta secondo me nel non confondere, anche solo inconsciamente, forza e lavoro/energia....
queste forze non fanno lavoro il barile, supposto rigido, non si deforma, le pareti non si muovono..

diverso infatti sarebbe il caso un po' più reale di barile "elastico", ovviamente il fenomeno descritto prima si presenta ma...la pressione sulle "allarga" (poco *) il barile aumentando (molto *) il suo volume e quindi "assorbendo" (molto *) liquido dal tubicino... la quota diminuisce (molto *) fino ad arrivare ad un nuovo equilibrio...

ora le forze sulle pareti fanno lavoro... e lo fanno perché noi invece ci facciamo un c**o così arrampicati sullo scaleo con imbuto e bottiglie e dopo il 39esimo sali-scendi quando il barile non è ancora rotto , scendendo dalla scala ci assestiamo un bel calcione e la facciamo finita!

(*): perdonatemi i molto e poco, non significano niente senza un paragone ma credo che qui la cosa sia abbastanza intuibile