ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Valerioluca** » 16 lug 2012, 21:57

: circuito del secondo ordine.jpg (57.56 KiB) Osservato 6986 volte

Se calcolare la potenza istantanea su R1 questa non viene o perché quando la rete è a regime i condensatori si comportano come un circuito aperto e quindi su R1 non passa corrente?
Oppure sbaglio nell'approcciarmi all'esercizio in questo modo?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

da **RenzoDF** » 16 lug 2012, 22:36

Essendo per t<0 la rete a regime e non potendo circolare nessuna corrente sia C1 che C2 saranno entrambi carichi ad una vc= E/2=25 V, alla chiusura dell'interruttore la situazione porterà ad una evoluzione temporale che farà salire per entrambi la tensione a 50 volt, ma con diverse funzioni del tempo.
Per ricavare le correnti ic1(t) e ic2(t) ci sono diversi modi ti consiglio di scrivere le due equazioni di stato ovvero sostanzialmente le

$i_{C_{i}}(t)=f_{i}(v_{C_{i}},u_{j})$

via Millman,

$v_{AB}=\frac{v_{C1}G_{1}+EG_{3}+v_{C2}G_{2}}{G_{1}+G_{2}+G_{3}}$

e derivando le suddette equazioni di stato dovrebbe uscire un sistema del "tipo"

$\left\{ \begin{align} & \frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}=-\frac{1}{28}\frac{i_{C_{1}}}{C_{1}}+\frac{1}{140}\frac{i_{C_{2}}}{C_{2}} \\ & \frac{\text{d}i_{C_{2}}}{\text{d}t}=\frac{1}{140}\frac{i_{C_{1}}}{C_{1}}-\frac{3}{140}\frac{i_{C_{2}}}{C_{2}} \\ \end{align} \right.$

dal quale si può ricavare l'equazione differenziale del secondo ordine in iC1(t).

----------------------------------------------------
Edit 17/07 ... i miei soliti esercizi di controllo
by Maxima

: 2012-07-17_172105.gif (16.14 KiB) Osservato 6938 volte

: 2012-07-17_172148.gif (9.93 KiB) Osservato 6938 volte

: 2012-07-17_172224.gif (9.83 KiB) Osservato 6938 volte

by LTspice

: a.gif (4.85 KiB) Osservato 6938 volte

: b.gif (13.26 KiB) Osservato 6938 volte

da **Valerioluca** » 20 lug 2012, 17:51

Grazie mille per la risposta, non ho ben capito come ti sei trovato le equazioni direttamente tramite millman, comunque le ho trovate uguali anche se con un processo abbastanza lungo, usando la sovrapposizione degli effetti.

Mi ricavo iC2 dalla prima

${i_{C_{2}}}=-\frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}{C_{1}}{C_{2}+\frac{1}{28}\frac{i_{C_{1}}}{C_{1}}{C_{2}{140}$

e lo sostituisco alla seconda ottenendo

$1400C_{1}{C_{2}\frac{\text{d}^2i_{C_{1}}}{\text{d}t^2}+({50C_{2}+{30C_{1})\frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}}+{i_{C_{1}}$

quindi

mi trovo

$0.42\frac{\text{d}^2i_{C_{1}}}{\text{d}t^2}+1.8\frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}}+{i_{C_{1}}$

e mi calcolo $\omega_{n}$ e $\zeta$

$\omega_{n}=\sqrt{\frac{1}{0.42}}=1,54$

$\zeta=\frac{1.8\omega_{n}}{2}=1,39$

essendo zeta maggiore di 1 la soluzione è sovrasmorzata
quindi la soluzione è del tipo

$a_{1}^{(-\zeta+j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})t}+a_{2}^{(-\zeta-j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})t} + x( \infty)$

$x( \infty)$ è 0 in quanto poi a regime iC1è 0

imponendo la condizione iniziale per t=0 iC1=0 ottengo che $a_{1}=-a_{2}$ solo che ora non so come trovarmi $a_{1}$ e $a_{2}$

poi altra cosa per quanto riguarda la potenza istantanea questa sarà 0 per t<0 e $\frac{iC_{1}^2}{R_{1}}$ per t>0 ?

da **RenzoDF** » 20 lug 2012, 18:40

Valerioluca ha scritto:... non ho ben capito come ti sei trovato le equazioni direttamente tramite millman,

Sostituendo ai condensatori dei GIT virtuali e agli (eventuali) induttori dei GIC virtuali, ovvero il metodo che si usa spesso per ricavare direttamente le equazioni di stato, vedi per esempio questo thread
viewtopic.php?f=2&t=36311&start=30

Valerioluca ha scritto: ... imponendo la condizione iniziale per t=0 iC1=0 ottengo che $a_{1}=-a_{2}$ ...

Non direi che la iC(0+) di nessuno dei due condensatori sia pari a 0 per t=0 anzi, come vedi dai diagrammi temporali di Maxima e di LTspice iC1 è addirittura massima per t=0+

Valerioluca ha scritto:... solo che ora non so come trovarmi $a_{1}$ e $a_{2}$ ...

Per una equazione differenziale del secondo ordine non basta i(0) come condizione iniziale. ;-)

NB Non dico che dobbiate imparare ad usare Maxima, ma qualche volta, provando a dare un'occhio al testo, forse, qualcosa si potrebbe intuire.

Valerioluca ha scritto:... poi altra cosa per quanto riguarda la potenza istantanea questa sarà 0 per t<0 e $\frac{iC_{1}^2}{R_{1}}$ per t>0 ?

No.

da **Valerioluca** » 20 lug 2012, 19:38

Forse posso calcolare la $i_{C1}(0+)$ come $\frac{E-v_{C1}(0+)}{R_{1}}$ ?

L'altra condizione iniziale dovrebbe essere:

$\frac{{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}}=(-\zeta+j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})a_{1}+(-\zeta-j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})a_{2}$

quindi

$0=(-\zeta+j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})a_{1}+(-\zeta-j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^2})a_{2}$

Mentre per la potenza istantanea non bisogna fare tensione di ${R_{1}}$ per la sua corrente, quindi per t>0

$\frac{i_{C1}}{R_{1}} i_{C1}$

e per t<0 in quanto siamo a regime $i_{C1}$ non è 0?

da **Valerioluca** » 20 lug 2012, 20:23

Valerioluca ha scritto:Forse posso calcolare la $i_{C1}(0+)$ come $\frac{E-v_{C1}(0+)}{R_{1}}$ ?

Non mi fa modificare il messaggio, comunque qua andrebbe corretto in $\frac{V_{AB}(0+)-v_{C1}(0+)}{R_{1}}$

con $V_{AB}(0+)=39.28$ e quindi $i_{C1}(0+)=0.714$

da **RenzoDF** » 20 lug 2012, 22:45

Valerioluca ha scritto:... e quindi $i_{C1}(0+)=0.714$

OK, ma ti manca sempre la seconda condizione iniziale, da quanto hai scritto ora è la derivata della iC1 al tempo t=0+ che ritieni pari a zero, ma non ho capito il perché; a inizio transitorio raramente accade di avere un simile valore, non credi?

Valerioluca ha scritto:Mentre per la potenza istantanea non bisogna fare tensione di ${R_{1}}$ per la sua corrente, quindi per t>0
$\frac{i_{C1}}{R_{1}} i_{C1}$

Scusa, ma insisti? ... vuoi prendermi in giro?

da **Valerioluca** » 21 lug 2012, 10:08

ho scritto per due volte una simile idiozia :shock:

$v_{R_{1}}=i_{C_{1}}{R_{1}$ quindi $i_{C_{1}}{R_{1}i_{C_{1}}$ sinceramente non so perché avevo fatto quella roba :oops:

invece per la $\frac{{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}}$ non so come trovarmi il suo valore a 0+

da **RenzoDF** » 21 lug 2012, 14:30

Valerioluca ha scritto:... invece per la $\frac{{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}}$ non so come trovarmi il suo valore a 0+

Forse leggendo le risposte che ti ho dato ci riesci. ;-)

da **Valerioluca** » 21 lug 2012, 15:19

Mi calcolo $i_{C_{2}$ come $\frac{V_{AB}(0+)-v_{C2}(0+)}{R_{2}}=0.357$

quindi facilmente me la potevo ricavare da questa, non so come non c'ho pensato subito
$\frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}=-\frac{1}{28}\frac{i_{C_{1}}}{C_{1}}+\frac{1}{140}\frac{i_{C_{2}}}{C_{2}}$

$\frac{\text{d}i_{C_{1}}}{\text{d}t}=-\frac{1}{28}\frac{0.714}{0.01}+\frac{1}{140}\frac{0.357}{0.03}=-2.465$

quindi
$i_{C_{1}}=0.042e^{-0.654}+0.672e^{-3.626}$

per la potenza istantanea su ${R_{1}$ per t>0