ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **hanck89** » 24 lug 2012, 11:16

up ragazzi? sono vicino alla soluzione, mi date un ultimo aiuto?

da **RenzoDF** » 24 lug 2012, 13:47

Prova a vedere se concordi con queste due equazioni di stato

$\left\{ \begin{align} & i_{C}=J-i_{L} \\ & v_{L}=v_{C}+R_{1}J-(R_{1}+R_{2}+R_{3})i_{L} \\ \end{align} \right.$

da **hanck89** » 24 lug 2012, 14:01

Si esatto, mi ritrovo, grazie Renzo

Ora procedo a finire il sistema e poi calcolo i valori finali

da **RenzoDF** » 24 lug 2012, 14:10

hanck89 ha scritto:Ora procedo a finire il sistema e poi calcolo i valori finali...

Puoi controllare i tuoi risultati con i miei riportati in [9], e ottenuti usando il "metodo semplificato".

da **hanck89** » 24 lug 2012, 16:29

i valori delle lambda dal sistema sopra mi escono rispettivamente, lambda + = 0; lambda - = -550000

Purtroppo non mi ritrovo sulla fine, sarà che il metodo che utilizzo è alquanto lungo e complicato (che devo fare a me questo hanno spiegato...)

posto una foto perché non ho idea di come caricare tutto il procedimento in latex, spero si capisca

dove sta l'errore?

: IMG_20120724_162452.jpg (90.68 KiB) Osservato 3109 volte

da **RenzoDF** » 24 lug 2012, 18:01

Come spesso accade, gli stesori di quei problemi sono degli emeriti "incompetenti", in quanto assegnando i parametri della rete non si rendono conto dei problemi di calcolo che fanno far nascere; come ti dicevo, la grande differenza fra le due costanti di tempo la si ritrova sugli esponenti degli esponenziali.

Quel tuo zero, non è un "vero" zero, ma circa 0.0303 mentre il secondo valore è corretto e pari a 550000; sono sostanzialmente gli inversi delle due costanti di tempo L/R ed RC, in quanto i due transitori non si "disturbano" fra loro.

$\begin{align} & \frac{R}{L}=\frac{11\times 10^{3}}{20\times 10^{-3}}=550000 \\ & \frac{1}{RC}=\frac{1}{11\times 10^{3}\times 3\times 10^{-3}}=\frac{1}{33}\approx 0.0303 \\ \end{align}$

in poche parole, nel calcolare le radici di quell'equazione, devi usare più cifre significative o ricordare come si sviluppa un radicale, ovvero che la prima radice la puoi approssimare ricordando che

$\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}\quad \quad \left( \left| x \right|<<1 \right)$

come

$x_{1}=\frac{-33+33\sqrt{1-\frac{24\times 10^{-5}}{33^{2}}}}{12\times 10^{-5}}\approx \frac{-33+33\left( 1-\frac{12\times 10^{-5}}{33^{2}} \right)}{12\times 10^{-5}}=-\frac{1}{33}$

per la seconda radice (essendoci la concordanza dei segni) non ci sono problemi e risulta

$x_{1}=\frac{-33-\sqrt{33^{2}-24\times 10^{-5}}}{12\times 10^{-5}}\approx -\frac{66}{12\times 10^{-5}}=-5.5\times 10^{5}$

Ed infine, come aveva ricordato

IsidoroKZ una ventina di giorni fa, rispondendo ad un vecchio thread
su un problema ... che solo ora mi accorgo essere identico al tuo #-o

, anche il Professor Middlebrook nella sua "Technical therapy" ha detto la sua su questo difetto congenito della formula risolutiva classica, indicando come superare lo scoglio numerico.

Sostanzialmente il trucco è semplicissimo, basta ricordare che il prodotto fra le due radici di un'equazione di secondo grado

$ax^{2}+bx+c=0\quad \quad 6\times 10^{-5}x^{2}+33x+1=0$

è esprimibile come

$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\quad$

di conseguenza, partendo dalla non problematica x2, calcolata come esempio per la nostra equazione

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\approx -550000$

la rimanente radice x1 può essere calcolata con

$x_{1}=\frac{c}{a}\frac{1}{x_{2}}\approx \frac{1}{6\times 10^{-5}}\frac{1}{5.5\times 10^{5}}\approx -\frac{1}{33}$

Middlebrook per comodità introduce due coefficienti

$\left\{ \begin{align} & Q^{2}\equiv \frac{ac}{b^{2}} \\ & F\equiv \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-4Q^{2}} \\ \end{align} \right.$

che permettono di scrivere le due radici come

$\left\{ \begin{align} & x_{1}=-\frac{c}{bF} \\ & x_{2}=-\frac{bF}{a} \\ \end{align} \right.$

l'andamento di F al variare di Q è molto significativo

: F.gif (10.7 KiB) Osservato 3030 volte

in quanto notiamo che per

$Q<<0.1\quad \Rightarrow \quad Q^{2}<<0.01\quad \Rightarrow F>0.99$

nel nostro caso abbiamo addirittura un

$Q^{2}<6\times 10^{-8}$

e di conseguenza un F senz'altro approssimabile ad 1, e le radici a

$\left\{ \begin{align} & x_{1}\approx -\frac{c}{b}= -\frac{1}{33} \\ & x_{2}\approx -\frac{b}{a}\approx -\frac{33}{6\times 10^{-5}}=-5.5\times 10^{5} \\ \end{align} \right.$

NB sul pdf c'è comunque molto altro. ;-)

Ovviamente con i moderni calcolatori, che possono eseguire i calcoli con elevato numero di cifre, il problema non è così sentito, ma se come è successo a te, l'ignaro studente non usa un numero sufficiente di cifre significative, cade nella trappola numerica.

da **hanck89** » 24 lug 2012, 18:33

Ecco, come immaginavo. Ho una capra al posto di un professore, che ci vuoi fare. Effettivamente quel valore esce anche a me, ma dopo aver calcolato quella radice, se proseguo con il metodo che ho fatto sopra arrivo ad un nulla di fatto. Lo so dovrei usare laplace ma non posso. Ecco quello che ottengo

Un ultimo sforzo magari riesco a risolverlo...

: fine?; IMG_20120724_182938.jpg (91.9 KiB) Osservato 3083 volte

da **RenzoDF** » 24 lug 2012, 19:04

Ora non ho tempo ma fra qualche ora ti rispondo. ;-)

da **hanck89** » 24 lug 2012, 19:18

Grazie Renzo, è molto importante perché domani ho l'esame. Grazie ancora

da **RenzoDF** » 24 lug 2012, 20:40

hanck89 ha scritto:Effettivamente quel valore esce anche a me,

Quale valore?

hanck89 ha scritto:... ma dopo aver calcolato quella radice,

Quale radice?

hanck89 ha scritto:... se proseguo con il metodo che ho fatto sopra arrivo ad un nulla di fatto.

Quale nulla di fatto?

Allora, se sei d'accordo, io ti faccio le domande e tu rispondi; per ora rispondi alle precedenti tre, ma cerca di essere chiaro.

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