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![\[\frac{{{v_{g2}}\left( t \right) - {v_C}\left( t \right)}}{{{R_2}}} = {i_C}\left( t \right) + {i_L}\left( t \right) + \frac{{{v_C}\left( t \right)}}{{{R_1}}} + {g_m}{v_C}\left( t \right)\]](/forum/latexrender/pictures/699cc00d8cfa0be2116d5cbe3d536dcb.png "\[\frac{{{v_{g2}}\left( t \right) - {v_C}\left( t \right)}}{{{R_2}}} = {i_C}\left( t \right) + {i_L}\left( t \right) + \frac{{{v_C}\left( t \right)}}{{{R_1}}} + {g_m}{v_C}\left( t \right)\]")
Circuito nel dominio del tempo
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g.schgor, 
IsidoroKZ
28 messaggi
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[12] Re: Circuito nel dominio del tempo
da 
RenzoDF » 4 ott 2012, 13:22
cicciospi ha scritto:Direi che dormo troppo poco da qualche settimana... e lo faccio mentre studio
... ora non ti resta che rivedere i tuoi sviluppi successivi a quella relazione e ripostarli.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
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[13] Re: Circuito nel dominio del tempo
da 
jordan20 » 5 ott 2012, 14:18
Peccato che questi esercizi restino sempre gli eterni incompiuti...
"Lo scienziato descrive ciò che esiste, l'ingegnere crea ciò che non era mai stato."
(T. von Kármán)
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[14] Re: Circuito nel dominio del tempo
da 
cicciospi » 6 ott 2012, 11:14
jordan20 ha scritto:Peccato che questi esercizi restino sempre gli eterni incompiuti...
Quest'esercizio non resterà fra gli eterni incompiuti, mi serve soltanto un po' di tempo per scriverlo...
P.S. sono stato fuori città per lavoro, quindi non ho potuto aggiornare niente...
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[15] Re: Circuito nel dominio del tempo
da jordan20 » 6 ott 2012, 11:58
Ok aspettiamo
p.s. non voleva essere una critica nei tuoi confronticicciospi, è il fatto che frequentemente molti utenti che chiedono aiuto non completino gli esercizi, non consentendo, indirettamente ad altri visitatori (magari con le stesse problematiche) di poter leggere e capire un quesito interamente risolto.
p.s. non voleva essere una critica nei tuoi confronti
cicciospi, è il fatto che frequentemente molti utenti che chiedono aiuto non completino gli esercizi, non consentendo, indirettamente ad altri visitatori (magari con le stesse problematiche) di poter leggere e capire un quesito interamente risolto."Lo scienziato descrive ciò che esiste, l'ingegnere crea ciò che non era mai stato."
(T. von Kármán)
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[16] Re: Circuito nel dominio del tempo
da cicciospi » 6 ott 2012, 12:04
tranquillissimo lo sto scrivendo, sono passati circa 45 minuti da quando ho iniziato ed ancora non ho finito, era meglio uno "scannamento" dei fogli che ho scritto 
ma non mi pare il caso 
lo sto scrivendo, sono passati circa 45 minuti da quando ho iniziato ed ancora non ho finito, era meglio uno "scannamento" dei fogli che ho scritto ma non mi pare il caso 3
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[17] Re: Circuito nel dominio del tempo
da jordan20 » 6 ott 2012, 12:07
cicciospi ha scritto:era meglio uno "scannamento" dei fogli che ho scritto
no che qua "ni scannano" per una cosa del genere ehehehe
"Lo scienziato descrive ciò che esiste, l'ingegnere crea ciò che non era mai stato."
(T. von Kármán)
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[18] Re: Circuito nel dominio del tempo
da cicciospi » 6 ott 2012, 19:51
finisco di scrivere il tutto, clicco su anteprima e mi spunta:
se tornando indietro, non trovavo di nuovo tutto quello che ho scritto in circa 75 minuti, cominciamo a best.... in tutte le lingue del mondo, anche quelle che non conosco
INIZIO
![\[\begin{array}{l}
{R_1} = {R_2} = 3\Omega ;\hspace{1cm}
C = \frac{1}{3}F ;\hspace{1cm}
L = \frac{3}{2}H ;\hspace{1cm}
{g_m} = \frac{1}{3}S \\\\
{v_{g1}}\left( t \right) = u\left( { - t} \right)V ;\hspace{1cm}
{v_{g2}}\left( t \right) = u\left( t \right)V
\end{array}\]](/forum/latexrender/pictures/ca36a03f32ae3b5f22f8ec9e38eb467b.png "\[\begin{array}{l}
{R_1} = {R_2} = 3\Omega ;\hspace{1cm}
C = \frac{1}{3}F ;\hspace{1cm}
L = \frac{3}{2}H ;\hspace{1cm}
{g_m} = \frac{1}{3}S \\\\
{v_{g1}}\left( t \right) = u\left( { - t} \right)V ;\hspace{1cm}
{v_{g2}}\left( t \right) = u\left( t \right)V
\end{array}\]")
t<0
![\[\begin{array}{l}
{v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {V_{g1}} = 1V\\
{i_L}\left( {{0^ - }} \right) = \frac{{{V_{g1}}}}{{{R_2}}} = \frac{1}{3} = 0.33V
\end{array}\]](/forum/latexrender/pictures/40e6cad12e2a6c022898dbe0c9d817a2.png "\[\begin{array}{l}
{v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {V_{g1}} = 1V\\
{i_L}\left( {{0^ - }} \right) = \frac{{{V_{g1}}}}{{{R_2}}} = \frac{1}{3} = 0.33V
\end{array}\]")
t>0
![\[{v_{R1}}\left( t \right) = {v_C}\left( t \right)\]](/forum/latexrender/pictures/5c4f818c17eb3fcaf23cd8f5203839be.png "\[{v_{R1}}\left( t \right) = {v_C}\left( t \right)\]")
![\[\frac{{{v_{g2}}\left( t \right)}}{{{R_2}}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^t {{v_C}\left( t \right)} dt + C\frac{{d{v_C}\left( t \right)}}{{dt}} + {v_C}\left( t \right)\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + {g_m}} \right)\]](/forum/latexrender/pictures/848823ac43a80e7ebe500ea773310d7a.png "\[\frac{{{v_{g2}}\left( t \right)}}{{{R_2}}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^t {{v_C}\left( t \right)} dt + C\frac{{d{v_C}\left( t \right)}}{{dt}} + {v_C}\left( t \right)\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + {g_m}} \right)\]")
Derivo in modo da calcolare la soluzione generale:
![\[\frac{{{d^2}{v_C}\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{C}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + {g_m}} \right)\frac{{d{v_C}\left( t \right)}}{{dt}} + \frac{1}{{CL}}{v_C}\left( t \right) = 0\]](/forum/latexrender/pictures/fa8d138c95fe63716f5f259a6ddc2a84.png "\[\frac{{{d^2}{v_C}\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + \frac{1}{C}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + {g_m}} \right)\frac{{d{v_C}\left( t \right)}}{{dt}} + \frac{1}{{CL}}{v_C}\left( t \right) = 0\]")
Cerco le radici basandomi sullo studio dell'equazione caratteristica:
![\[\begin{array}{l}
{s^2} + 3s + 2 = 0\\
{s_1} = - 2\\
{s_2} = - 1
\end{array}\]](/forum/latexrender/pictures/0455abd8116f69ca0740b24c625ef411.png "\[\begin{array}{l}
{s^2} + 3s + 2 = 0\\
{s_1} = - 2\\
{s_2} = - 1
\end{array}\]")
a questo punto scrivo la![\[{v_C}\left( t \right)\]](/forum/latexrender/pictures/27cf8da7e59829f97a3d55ee1aed1bda.png "\[{v_C}\left( t \right)\]")
, dato che le radici sono reali e distinte si ha:
![\[{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}}\]](/forum/latexrender/pictures/bd8b7f90a6ff48b90f8505360856a3d6.png "\[{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}}\]")
cerchiamo la soluzione particolare, sostituisco le due costanti c1 e c2 con a(t) e b(t)
![\[{v_C}\left( t \right) = a\left( t \right){e^{ - 2t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]](/forum/latexrender/pictures/6799b5d41ef4c6a6026d488e64337b8f.png "\[{v_C}\left( t \right) = a\left( t \right){e^{ - 2t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]")
![\[{{\dot v}_C}\left( t \right) = \dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} - 2a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} - b\left( t \right){e^{ - t}}\]](/forum/latexrender/pictures/1839705346f07bf56768ffabc3037ebc.png "\[{{\dot v}_C}\left( t \right) = \dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} - 2a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} - b\left( t \right){e^{ - t}}\]")
Impongo la somma delle derivate prime uguale a zero e trovo la prima equazione del sistema finale per trovare la soluzione particolare:
![\[\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = 0\]](/forum/latexrender/pictures/92dd6011da111a2ba2244c31ed34266d.png "\[\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = 0\]")
Derivo![\[{{\dot v}_C}\left( t \right)\]](/forum/latexrender/pictures/dfa2d9ab81132b3a05fb67116fc0b970.png "\[{{\dot v}_C}\left( t \right)\]")
, tenendo conto che i termini posti a zero nel precedente punto non vanno considerati:
![\[{{\ddot v}_C}\left( t \right) = - 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 4a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]](/forum/latexrender/pictures/d9cea4ce84ec82027ce751f8df9c9174.png "\[{{\ddot v}_C}\left( t \right) = - 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 4a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]")
Sostituisco nell'queazione differenziale il tutto:
![\[ - 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 4a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} + b\left( t \right){e^{ - t}} - 6a\left( t \right){e^{ - 2t}} - 3b\left( t \right){e^{ - t}} + 2a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 2b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}\]](/forum/latexrender/pictures/0e615474f5253c8958d1a778aa6db848.png "\[ - 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 4a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} + b\left( t \right){e^{ - t}} - 6a\left( t \right){e^{ - 2t}} - 3b\left( t \right){e^{ - t}} + 2a\left( t \right){e^{ - 2t}} + 2b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}\]")
Elido tutto ciè che si DEVE elidere (altrimenti significa che c'è qualche errore, devono rimanere solamente i termini con la derivata)
a questo punto ho il sistema per ricavare![\[\dot a\left( t \right)\ \hspace{0.2cm}\dot b\left( t \right)\]](/forum/latexrender/pictures/892181ab7f82cdf360af04d2cfe18a12.png "\[\dot a\left( t \right)\ \hspace{0.2cm}\dot b\left( t \right)\]")
![\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = 0\\
- 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} = - \dot b\left( t \right){e^{ - t}}\\
2\dot b\left( t \right){e^{ - t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\]](/forum/latexrender/pictures/e17f2e7918bb472b730dc5f0b1648336.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} + \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = 0\\
- 2\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right){e^{ - 2t}} = - \dot b\left( t \right){e^{ - t}}\\
2\dot b\left( t \right){e^{ - t}} - \dot b\left( t \right){e^{ - t}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\]")
![\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right) = - \frac{1}{3}{e^{2t}}\\
\dot b\left( t \right) = \frac{1}{3}{e^t}
\end{array} \right.\]](/forum/latexrender/pictures/85990c5dcd2b7594c118d7895cd4b3a1.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot a\left( t \right) = - \frac{1}{3}{e^{2t}}\\
\dot b\left( t \right) = \frac{1}{3}{e^t}
\end{array} \right.\]")
Integriamo per trovare le primitive:
![\[\left\{ \begin{array}{l}
\int {\dot a\left( t \right)dt} = - \frac{1}{6}{e^{2t}}\\
\int {\dot b\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}{e^t}
\end{array} \right.\]](/forum/latexrender/pictures/73506823ea730587395d6e6974d48014.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
\int {\dot a\left( t \right)dt} = - \frac{1}{6}{e^{2t}}\\
\int {\dot b\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}{e^t}
\end{array} \right.\]")
sostituiamo i valori ottenuti nella seguente equazione![\[a\left( t \right){e^{ - 2t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]](/forum/latexrender/pictures/fe5e5fbe2785fc7e179db83da7ee6125.png "\[a\left( t \right){e^{ - 2t}} + b\left( t \right){e^{ - t}}\]")
per trovare la soluzione particolare:
![\[ - \frac{1}{6}{e^{2t}}{e^{ - 2t}} + \frac{1}{3}{e^t}{e^{ - t}} = \frac{1}{6}\]](/forum/latexrender/pictures/7606ae3aacf9caaeda2d353aed24f653.png "\[ - \frac{1}{6}{e^{2t}}{e^{ - 2t}} + \frac{1}{3}{e^t}{e^{ - t}} = \frac{1}{6}\]")
Questa è la nostra
![\[{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6}\]](/forum/latexrender/pictures/9887d3d61e9acc83abf8c1d3fee48497.png "\[{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6}\]")
Calcoliamo le condizioni iniziali per trovare le costanti, sappiamo che![\[{v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {v_C}\left( {{0^ + }} \right) = 1V\]](/forum/latexrender/pictures/e716d38c2daae209082b7a3c4e1f91d7.png "\[{v_C}\left( {{0^ - }} \right) = {v_C}\left( {{0^ + }} \right) = 1V\]")
quindi si ha che:
![\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{v_C}\left( t \right) = - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - {c_2}{e^{ - t}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{c_2} = \frac{{ - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - 1}}{{{e^{ - t}}}} = - 2{c_1}{e^{ - t}} - {e^t}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = - \frac{5}{6}{e^{2t}}\\
{c_2} = \frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t
\end{array} \right.\]](/forum/latexrender/pictures/dc2ff04a418b61344ad3c6f06fd6ca14.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_C}\left( t \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{v_C}\left( t \right) = - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - {c_2}{e^{ - t}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{c_2} = \frac{{ - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - 1}}{{{e^{ - t}}}} = - 2{c_1}{e^{ - t}} - {e^t}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = - \frac{5}{6}{e^{2t}}\\
{c_2} = \frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t
\end{array} \right.\]")
a questo punto abbiamo trovato le costanti, basta sostituire il tutto ed il gioco è fatto:
![\[{v_C}\left( t \right) = - \frac{5}{6}{e^{2t}}{e^{ - 2t}} + \left( {\frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t} \right){e^{ - t}} + \frac{1}{6} = - \frac{5}{6} + \frac{5}{3} - {e^{ - 2t}} + \frac{1}{6}\]](/forum/latexrender/pictures/491c18a976e5696b321b92f715b6bb1a.png "\[{v_C}\left( t \right) = - \frac{5}{6}{e^{2t}}{e^{ - 2t}} + \left( {\frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t} \right){e^{ - t}} + \frac{1}{6} = - \frac{5}{6} + \frac{5}{3} - {e^{ - 2t}} + \frac{1}{6}\]")
Questa dovrebbe essere la soluzione tanto attesa...
![\[{v_C}\left( t \right) = {e^{ - 2t}} + 1\]](/forum/latexrender/pictures/4c419feb957d56ddd2ad7f1a60f9ca43.png "\[{v_C}\left( t \right) = {e^{ - 2t}} + 1\]")
FINE
Adesso chi mi aiuta a trovare gli errori???
ElectroYou si sta aggiornando...
Stiamo aggiornando il software del sito. Torneremo online tra qualche minuto.
Per informazioni, contattare il webmaster
se tornando indietro, non trovavo di nuovo tutto quello che ho scritto in circa 75 minuti, cominciamo a best.... in tutte le lingue del mondo, anche quelle che non conosco
INIZIO
t<0
t>0
Derivo in modo da calcolare la soluzione generale:
Cerco le radici basandomi sullo studio dell'equazione caratteristica:
a questo punto scrivo la
, dato che le radici sono reali e distinte si ha:cerchiamo la soluzione particolare, sostituisco le due costanti c1 e c2 con a(t) e b(t)
Impongo la somma delle derivate prime uguale a zero e trovo la prima equazione del sistema finale per trovare la soluzione particolare:
Derivo
, tenendo conto che i termini posti a zero nel precedente punto non vanno considerati:Sostituisco nell'queazione differenziale il tutto:
Elido tutto ciè che si DEVE elidere (altrimenti significa che c'è qualche errore, devono rimanere solamente i termini con la derivata)
a questo punto ho il sistema per ricavare
Integriamo per trovare le primitive:
sostituiamo i valori ottenuti nella seguente equazione
per trovare la soluzione particolare:Questa è la nostra
Calcoliamo le condizioni iniziali per trovare le costanti, sappiamo che
quindi si ha che:a questo punto abbiamo trovato le costanti, basta sostituire il tutto ed il gioco è fatto:
Questa dovrebbe essere la soluzione tanto attesa...
FINE
Adesso chi mi aiuta a trovare gli errori???
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[19] Re: Circuito nel dominio del tempo
da RenzoDF » 6 ott 2012, 20:34
Prima di tutto complimenti per il lavoro di scrittura della soluzione! 
Eccome qua! ... e visto che lo hai richiesto esplicitamente, ti elenco i punti sui quali mi trovo in disaccordo con i tuoi calcoli:
a) un primo errore direi sta nella iL(0-) calcolata con verso opposto a quello scelto nella scrittura della KCL per t>0.
b) non capisco quello strano modo di cercare una soluzione particolare, direi che ci sia un metodo molto più semplice ... e a vedere la soluzione mi vengono dei dubbi sulla sua correttezza di quei passaggi (e quindi su quel 1/6) in quanto dovrebbe risultare
c) nutro dei seri dubbi che la tensione su C per t tendente ad infinito tenda ad un volt
d) di condizioni iniziali ne vedo poi una sola, ovvero quella su vc(0+)=1 anche se mi sembra di capire che tu abbia assunto vc'(0+)=1 (valore sul quale non concordo)
BTW occhio che sei andato fuori schermo con una formula troppo lunga.
cicciospi ha scritto:... Adesso chi mi aiuta a trovare gli errori???
Eccome qua!
... e visto che lo hai richiesto esplicitamente, ti elenco i punti sui quali mi trovo in disaccordo con i tuoi calcoli:a) un primo errore direi sta nella iL(0-) calcolata con verso opposto a quello scelto nella scrittura della KCL per t>0.
b) non capisco quello strano modo di cercare una soluzione particolare, direi che ci sia un metodo molto più semplice ... e a vedere la soluzione mi vengono dei dubbi sulla sua correttezza di quei passaggi (e quindi su quel 1/6) in quanto dovrebbe risultare
c) nutro dei seri dubbi che la tensione su C per t tendente ad infinito tenda ad un volt
d) di condizioni iniziali ne vedo poi una sola, ovvero quella su vc(0+)=1 anche se mi sembra di capire che tu abbia assunto vc'(0+)=1 (valore sul quale non concordo)
BTW occhio che sei andato fuori schermo con una formula troppo lunga.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
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[20] Re: Circuito nel dominio del tempo
da cicciospi » 7 ott 2012, 11:18
RenzoDF ha scritto:Eccome qua!
Fino a quando non si correggeranno tutti gli errori, non dichiarerò il post risolto
RenzoDF ha scritto:a) un primo errore direi sta nella iL(0-) calcolata con verso opposto a quello scelto nella scrittura della KCL per t>0.
Sono d'accordo con te, metterei un meno davanti
RenzoDF ha scritto:b) non capisco quello strano modo di cercare una soluzione particolare, direi che ci sia un metodo molto più semplice ... e a vedere la soluzione mi vengono dei dubbi sulla sua correttezza di quei passaggi (e quindi su quel 1/6) in quanto dovrebbe risultare
sono 5 anni che non faccio equazioni differenziali, quindi le ho dovute ripassare, chissà che avrò combinato...
RenzoDF ha scritto:c) nutro dei seri dubbi che la tensione su C per t tendente ad infinito tenda ad un volt
Cosa pensi abbia sbagliato?
RenzoDF ha scritto:d) di condizioni iniziali ne vedo poi una sola, ovvero quella su vc(0+)=1 anche se mi sembra di capire che tu abbia assunto vc'(0+)=1 (valore sul quale non concordo)
![\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_C}\left( 0 \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{{\dot v}_C}\left( 0 \right) = - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - {c_2}{e^{ - t}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{c_2} = \frac{{ - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - 1}}{{{e^{ - t}}}} = - 2{c_1}{e^{ - t}} - {e^t}
\end{array} \right. \Rightarrow \]](/forum/latexrender/pictures/67b4dc1b7638e38a4c0578d6d3965249.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_C}\left( 0 \right) = {c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{{\dot v}_C}\left( 0 \right) = - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - {c_2}{e^{ - t}} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1}{e^{ - 2t}} + {c_2}{e^{ - t}} + \frac{1}{6} = 1\\
{c_2} = \frac{{ - 2{c_1}{e^{ - 2t}} - 1}}{{{e^{ - t}}}} = - 2{c_1}{e^{ - t}} - {e^t}
\end{array} \right. \Rightarrow \]")
![\[\left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = - \frac{5}{6}{e^{2t}}\\
{c_2} = \frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t
\end{array} \right.\]](/forum/latexrender/pictures/f730dd293d6541cc5e8be80bdde4c6b1.png "\[\left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = - \frac{5}{6}{e^{2t}}\\
{c_2} = \frac{5}{3}{e^t} - {e^ - }^t
\end{array} \right.\]")
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