Excel-Fourier

[RenzoDF]

Le considerazioni qui esposte sono tratte da un documento del 4 marzo 2009 a firma di Douglas A. Kerr (The Fourier Analysis Tool in Microsoft Excel).

Puoi anche linkarlo
http://dougkerr.net/Pumpkin/articles/Excel_Fourier.pdf

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Grazie Renzo, ottimo!

[RenzoDF]

Sull'argomento c'è qualcosa di interessante anche su

http://excelunusual.com/?s=fourier

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Considerazioni sui fattori di scala (2)

Il motivo per cui il numero dei dati di ingresso deve essere una potenza di due, risiede proprio nel fatto che l'algoritmo che gli sviluppatori di questo add-in hanno scelto per effettuare la DFT è quello della FFT: e la FFT richiede che i dati su cui essa opera devono assolvere a questo requisito.

Anche i dati di uscita, nel dominio della frequenza, nel caso della DFT, o nel dominio del tempo, nel caso della IDFT (DFT inversa o, antitrasformata di Fourier), avranno la stessa dimensione (o cardinalità).

Ed ora veniamo alle considerazioni che Kerr fa sulla scala dei dati. Per comprendere meglio le stesse, egli fa riferimento ad un esempio di sequenza di dati campionati nel tempo e mostra la seguente figura (tratta dall'articolo che l'ottimo Renzo ha indicato in un link qualche post addietro).

fig1.png (14.45 KiB) Osservato 5652 volte

Immaginiamo che i dati siano stati prelevati all'interno di una finestra temporale (window time) la cui ampiezza è di 8 ms. Che il numero dei campioni (samples) sia pari a 16 (potenza di due), e che, conseguentemente, l'intervallo di campionamento (sampling time) sia:



al quale, evidentemente, corrisponderà una frequenza di campionamento pari a:

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Considerazioni sui fattori di scala (3)

Successivamente Kerr spinge il lettore ad un'osservazione (squisitamente inerente questioni di scala!): poiché N, il numero dei campioni, è pari a 16 (0,1,2, ..., 15), gli intervalli tra questi saranno 15, corrispondenti, pertanto, ad una quantità temporale complessiva di 7.5 ms! Allora, per "correggere" questa anomalia, Kerr suggerisce di pensare ad ognuno dei 16 campioni come il punto centrale di un intervallo di 0.5 ms. E così, il numero complessivo degli intervalli torna ad essere 16.

Successivamente egli concentra la sua attenzione sui dati di uscita. Sappiamo che il numero di questi è 16 (come il numero dei dati di ingresso); sappiamo che si tratta di frequenze, ma in quale scala?

E qui Kerr fornisce un'informazione (per me davvero importante ai fini della comprensione del funzionamento di questa funzionalità di excel): l'intero intervallo di frequenza dei dati d'uscita corrisponde alla frequenza di campionamento (nell'esempio che qui si sta conducendo, 2 kHz).

Pertanto, l'ampiezza dell'unità di questa scala di frequenza sarà:



Anche per questa scala vale la peculiare osservazione fatta a proposito della scala temporale dei dati di ingresso: ogni valore di frequenza va pensato come il valore centrale di un subintervallo di ampiezza pari a 125 Hz.

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Si, l'ho visto: debbo dire che in quel sito vengono mostrate modalità di utilizzo di questo potente foglio di calcolo che sono davvero fantasiose e notevoli! Anche questo è un ottimo suggerimento di esplorazione: grazie Renzo.

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Considerazioni sui fattori di scala (4)

Kerr, quindi, propone un'ulteriore considerazione: se il segnale è stato campionato in accordo col teorema di Shannon, allora vuol dire che il suo spettro non conterrà armoniche superiori alla semifrequenza di campionamento, nel nostro esempio 1 kHz. Sembrerebbe, allora, che la porzione di spettro coperta dai punti 8,9, ..., 15 sia ridondante. E qui il lettore viene avvisato che l'output prodotto da questa funzionalità è in accordo con la rappresentazione spettrale bilatera: per cui, per ogni componente a frequenza f, se ne avrà corrispondentemente un'altra, complessa e coniugata alla prima, a frequenza -f.

E fino a qui, per chi ha un minimo di dimistichezza con Fourier, non vi è nulla di strano. Kerr, però, aggiunge che questa modalità di rappresentazione avviene con una, per così dire, "grinza" (wrinkle): la parte di scala che inerisce le frequenze negative piuttosto che iniziare a sinistra dello zero, è stata traslata a destra della porzione di scala inerente le frequenze positive.

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Considerazioni sui fattori di scala (5)

Ognuno dei dati di uscita, si diceva, nel caso più generale dobbiamo attendercelo come un numero complesso del tipo:



(dove k indica la posizione del k-esimo elemento all'interno del vettore d'uscita).

In realtà esso rappresenta una delle armoniche che costituiscono il segnale che stiamo analizzando e che generalmente esprimiamo in termini di segnale sinusoidale avente una determinata ampiezza ed una determinata fase:



con:





(anche se, per motivi di comodità matematica, spesso le armoniche vengono rappresentate in termini di funzioni cosinusoidali; ma questo è un aspetto sul quale non intendo, al momento, soffermarmi).

Vorrei rammentare che un segnale sinusoidale è completamente noto quando sono note l'ampiezza, la frequenza (o il periodo, o la pulsazione angolare), e la fase.

A questo punto ci si potrebbe chiedere: se dalla conoscenza della parte immaginaria e della parte reale del k-esimo elemento risalgo all'ampiezza ed alla fase della k-esima armonica, come ottengo la frequenza di quest'ultima? L'informazione della frequenza è proprio nella posizione del k-esimo elemento sulla scala dei dati di uscita; scala che, come abbiamo già richiamato, rappresenta la grandezza fisica della frequenza.

Alternativamente alla rappresentazione analitica della singola armonica in termini di funzione sinusoidale - con relativa ampiezza e fase - si può optare per una combinazione lineare di una funzione seno ed una funzione coseno: ciascuna con la propria ampiezza ( e ) ma senza fase. Si può dimostrare, ma non lo facciamo qui (non essendo il focus del thread), che tali ampiezze sono direttamente desumibili dalla conoscenza dei parametri: e .

[DirtyDeeds]

ho pensato di costruirmi, con excel, un foglio per l'esecuzione della trasformata di una stringa di dati nel dominio del tempo

Analisi di Fourier con Excel?! Come direbbero i 'mericani, it's a pain in the ass! Usa strumenti più adatti, come i software di analisi numerica Matlab, Scilab (free), Octave (free) ecc.

Ecco, questa è la "questione": in sostanza non mi trovo con il risultato esposto da excel.

Non ho ancora avuto modo di leggere tutti i tuoi messaggi, ma sei sicuro che Excel non usi una normalizzazione della DFT diversa dalla tua? La DFT può essere normalizzata in modi diversi e spesso la convenzione usata nei libri di testo è diversa da quella utilizzata dai programmi.

Quest'ultima nota ci è utile, ad esempio, per comprendere perché excel si aspetta che il vettore dei dati di input sia pari ad una potenza di 2.

La FFT può essere estesa a vettori che abbiano lunghezza differente da una potenza di due: le funzioni fft dei programmi summenzionati implementano questa estensione in modo trasparente.

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Analisi di Fourier con Excel?! Come direbbero i 'mericani, it's a pain in the ass! Usa strumenti più adatti, come i software di analisi numerica Matlab, Scilab (free), Octave (free) ecc.

E' la prima volta che provo a cimentarmi con strumenti software volti al calcolo della DFT. Ho iniziato con excel perché, casualmente, ho scoperto che poteva farlo. E, nel contempo, ho anche scoperto che poteva farlo in modo molto ... economico: come dire, basta un click!
Certo, non posso fare il confronto con gli strumenti che mi hai suggerito, e del che ti ringrazio, ma mi è sembrato il caso di approfondire (con excel, intendo).

Non ho ancora avuto modo di leggere tutti i tuoi messaggi, ma sei sicuro che Excel non usi una normalizzazione della DFT diversa dalla tua? La DFT può essere normalizzata in modi diversi e spesso la convenzione usata nei libri di testo è diversa da quella utilizzata dai programmi.

Si, è proprio il sospetto che nutro. Domani, se avrò tempo, continuerò con il post e quando arriverò al punto forse - anzi, certamente - potrai darmi una mano anche tu a capire se di diversa normalizzazione si tratta.

La FFT può essere estesa a vettori che abbiano lunghezza differente da una potenza di due: le funzioni fft dei programmi summenzionati implementano questa estensione in modo trasparente.

Non conosco l'algoritmo della FFT: quanto primo cercherò un po' di documentazione, in rete, per approfondirlo.

Grazie per i tuoi consigli.