Carica di un condensatore e campo magnetico

[afz]

Buongiorno a tutti,
ho da qualche tempo un dubbio, sarò veramente grato se qualcuno potesse darmi una mano a risolverlo, anche suggerendomi semplicemente il link a qualche dispensa/libro/pdf.
Il mio dubbio è il seguente e riguarda il processo di carica di un condensatore.
Consideriamo un condensatore a facce parallele di forma circolare e trascuriamo gli effetti di bordo sul condensatore.
Se qualcuno mi chiedesse di descrivermi come variano la corrente e la tensione ai capi del condensatore (con tensione iniziale del condesatore nulla), la mia risposta sarebbe quella di schematizzare il circuito generatore di fem + condensatore con un circuito RC nel modo seguente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

avendo che (con )


Se chiudiamo il circuito in , in , mentre
Durante questo processo di carica, in un condensatore reale, per la 4^ equazione di Maxwell tra le due armature è presente corrente di spostamento, legata alla derivata del campo elettrico presente tra le armature; la corrente di spostamento presente tra le armature è uguale alla corrente che circola nel circuito ().
questa corrente di spostamento determina un campo magnetico, anch'esso variabile nel tempo. L'energia specifica per unità di volume associata alla presenza di un campo magnetico dovrebbe essere Questo campo magnetico dovrebbe essere molto piccolo, poiché la sua espressione comunque contiene il termine .
La mia domanda è la seguente: se e se , allora in un tempo infinitesimo si forma un campo tra le armature, a cui è associato una energia magnetica che è nulla in e non nulla in ; perciò la potenza in gioco all'istante iniziale sarebbe infinita (cosa che è fisicamente non possibile), giusto?
Inoltre se un condensatore reale presenta tra le proprie armature sia un campo elettrico che magnetico (seppur molto molto piccolo), può essere schematizzato come serie di un condensatore "ideale" (cioè con il bipolo tale che ) e un induttore ideale (cioè con il bipolo tale che )?
In tal caso è possibile schematizzare il processo di carica di un condensatore "reale" con un circuito RLC serie, con una L (induttanza) molto più piccola di tutti gli altri parametri in gioco (la fdt circuito avrebbe due poli, entrambi negativi reali, di cui uno molto minore dell'altro)?
Un enorme grazie
Alessandro

[RenzoDF]

La tua domanda è senza dubbio interessantissima, ma la risposta è complessa; direi che usare la relazione



valida per lo studio a parametri concentrati non è in questo caso una buona idea, qui per fare un discorso serio su cosa succeda dentro il bipolo non basta "guardarlo" semplicemente dai suoi morsetti ma è indispensabile un punto di vista interno, che richiede una diversa modellazione del dispositivo.
In poche parole si dovrebbe studiare il componente condensatore dal punto di vista di linea di trasmissione (aperta) e vedere come l'energia "entra" nello spazio interno attraverso lo studio del vettore di Poynting.

... in questo vecchio post,

viewtopic.php?f=14&t=26430#p207140

per la determinazione dell'induzione magnetica B, il discorso era stato semplificato supponendo che la corrente di spostamento andasse istantaneamente ad uguagliare quella di conduzione, ma se vogliamo analizzare il fenomeno con più rigore, al fine di spiegare in modo migliore l'aspetto energetico, non vedo altra strada che la modellazione via linea di trasmissione.

[afz]

Innanzitutto RenzoDF grazie mille per la risposta!!

In poche parole si dovrebbe studiare il componente condensatore dal punto di vista di linea di trasmissione (aperta) e vedere come l'energia "entra" nello spazio interno via lo studio del vettore di Poynting.

Quindi, a grandi linee (se non ho capito male), si dovrebbe determinare in qualche modo la distribuzione dei campi elettrici e magnetici (variabili nel tempo e nello spazio) e quindi usare il teorema di Poynting applicato ad un volume che contiene il nostro condensatore, giusto?
Grazie

[RenzoDF]

...Quindi, a grandi linee (se non ho capito male), dovremmo determinare in qualche modo la distribuzione dei campi elettrici e magnetici (variabili nel tempo e nello spazio) e quindi usare il teorema di Poynting applicato ad un volume che contiene il nostro condensatore, giusto?

Si, sostanzialmente dovremmo considerare il fatto che la corrente di conduzione in ingresso andrebbe a scorrere sulla superficie esterna delle due armature circolari fino al raggiungimento del bordo esterno per "rientrare sulla loro faccia interna e trasformarsi, in una progressiva corrente di spostamento che va estendendosi da una prima corona circolare infinitesima più esterna e va via via a crescere col propagarsi del campo elettromagnetico verso l'asse del condensatore ... con un'impedenza caratteristica che varia lungo la strada e con una bella riflessione centrale.

[afz]

Grazie mille!!

in una progressiva corrente di spostamento che va estendendosi da una prima corona circolare infinitesima più esterna e va via via a crescere col propagarsi del campo elettromagnetico verso l'asse del condensatore ...

Ecco, mi sono già perso...
Comunque se non ho capito male in pratica all'inizio si ha solo una piccola corrente di spostamento sul "bordo" del condensatore, che diventa una corona circola di con raggio esterno =R (il raggio del condensatore) e raggio interno man mano decrescente. E' corretto?
Cioè in pratica è così?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Volevo chiedere un'altra cosa riguardo alle correnti di spostamento: il loro modulo è decrescente dall'esterno verso l'interno? perché ieri, mentre ragionavo sulla questione, la disposizione dei campi elettrici e magnetici mi ricordava quella che c'è in un conduttore cilindrico percorso da una corrente crescente nel tempo; poiché la corrente cresceva nel tempo, il campo magnetico induce una fem indotta che provoca l'effetto pelle, determinando densità di corrente maggiori sulla "pelle" del conduttore e minori "dentro" il conduttore.
Si può parlare anche in questo caso di un fenomeno simil-effetto pelle, in cui si hanno correnti di spostamento (anzichè di conduzione)?
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... in questo vecchio post, per determinazione dell'induzione magnetica B, il discorso era stato semplificato supponendo che la corrente di spostamento andasse istantaneamente ad uguagliare quella di conduzione

Grazie mille per il link! In effetti ieri pomeriggio avevo letta questa discussione; anzi, volevo chiedere se la frase che ho quotato è legata all'ipotesi specificata da carloc alla fine del messaggio [13].
Grazie

[afz]

Beh, nel mio primo post avevo scritto ;
in verità intendevo:
.
Scusate l'imprecisione (e le parole scritte male nei miei messaggi precedenti).

[RobertFirpo]

Forse può essere id utilità:

http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02sc-physics-ii-electricity-and-magnetism-fall-2010/poynting-vector-and-energy-flow-in-a-capacitor/MIT8_02SC_challenge_sol27.pdf

[afz]

Grazie mille per il pdf! Ora scarico il pdf e me lo leggo bene.
Volevo approfittare del post per chiedere un'altra cosa: il passaggio da circuito RC a RLC (schematizzando il condensatore reale con un induttore ideale + condensatore ideale) quindi è da scartare? perché avevo pensato che il circuito RC non tiene conto di eventuali (piccole) energie magnetiche; in tal caso l'induttanza introduce nella rete un nuovo stato, permettendo di tener conto della (piccolissima) energia magnetica in gioco nel condensatore durante il processo;
l'induttanza fa sì che la corrente iniziale sia zero e con un andamento temporale più o meno simile a questo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

(ovviamente il disegno è puramente qualitativo e non in scala!).
L'induttanza L dovrebbe essere molto piccola, perciò il tempo di salita della corrente all'inizio dovrebbe essere molto piccolo.
Schematizzando il condensatore reale con uno ideale + induttore reale, si avrebbe un andamento della tensione di questo tipo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ho pensato che la tensione dell'induttore "fisicamente" corrispondesse alla fem indotta tra le armature e sulle armature del condensatore, che si oppongono appunto alla corrente; per esempio all'istante iniziale pensavo fosse così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Pensavo che la corrente che percorre le armature del condensatore genera un campo magnetico che genera un campo elettrico indotto di direzione opposta alla corrente; all'istante 0 questo E indotto dovrebbe impedire alla corrente di entrare; negli istanti successivi pensavo che ci dovesse essere un E indotto sia sulle armature che tra le armature.
Ciò può avere un senso? Oppure sono solo farneticazioni?

[afz]

Ciò può avere un senso? Oppure sono solo farneticazioni?

La tua domanda è senza dubbio interessantissima, ma la risposta è complessa; direi che usare la relazione



valida per lo studio a parametri concentrati non è in questo caso una buona idea

Sì, in effetti la risposta c'era già nel secondo post... comunque ho preferito includere nel post precedente il "succo" della risposta che mi ero dato per questo fenomeno.

[afz]

Un'ultima, ultimissima domanda:
se si potesse dire:

si potrebbe allora schematizzare il circuito con un RLC?
Personalmente direi di sì, ma ne non sono molto sicuro.
Grazie mille!