ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **PietroBaima** » 12 nov 2012, 17:28

jmonty ha scritto:Si ho sbagliato ad non utilizzare il latex, l'unica cosa che non so come inserire il simbolo di integrale

Codice: Seleziona tutto: \int_a^b

con il risultato

$\int_a^b$

Per

DirtyDeeds: poi ti offro una birra per mettere a posto il Copyright :mrgreen:

da **carloc** » 13 nov 2012, 22:48

PietroBaima ha scritto:Abbi pazienza, ma il professore non può averti chiesto di calcolare una cosa senza senso, scusa...

PietroBaima....non so perché ma ho paura della risposta a questa domanda :cry:

Poi vorrei finire 'sto delirio con un integrale facile facile....

Prendiamo una successione f_k

di rettangoli tali che:

i) tutti di area (misura) pari ad 1
ii) base =1/k (e quindi altezza pari a k)
iii) se a e b sono gli estremi della base si abbia $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=t_0$ e $\lim_{k\rightarrow\infty}b_k=t_0$ monotonamente

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

che poi sarebbe la stra-classica predistribuzione usata sempre per introdurre le delta. Solo noterei che non ho detto niente riguardo la posizione dei due estremi al variare di k se non che convergono entrambi i to. (senza "intrigarsi" tra di loro)

Normalmente si definisce un intervallo simmetrico intorno to (come in 1) ma se si rispettano le condizioni prima ricordate, cioè $\varphi\in\mathcal{D}$ , la cosa non ha nessuna influenza ed anche 2 o 3 sopra, ma anche qualsiasi altra cosa che rispetti i) ii) e iii) da lo stesso risultato.

Facciamo allora la phi-misura di questa predistribuzione, cioè la seminorma indotta da una qualsiasi funzione test...

$\|f\|_\varphi=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_\mathbb{R}f_k\cdot\varphi= \lim_{k\rightarrow\infty}\int_a^bk\,\varphi(t)\,\text{d}t$

e se $\Phi$ è una qualsiasi primitiva di $\varphi$

$\|f\|_\varphi=\lim_{k\rightarrow\infty}k\left(\Phi(b)-\Phi(a)\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\Phi(b)-\Phi(a)}{\frac{1}{k}}$

ma quest'ultimo limite non è altro che il rapporto tra la variazione di $\Phi$ e la variazione di variabile indipendente che la produce calcolato per la variazione che tende a zero intorno a to, cioè

$\|f\|_\varphi=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\Phi(b)-\Phi(a)}{\frac{1}{k}}=\left.\frac{\text{d}\,\Phi}{\text{d}t}\right|_{t=t_0}=\varphi(t_0)$

la derivata della primitiva di $\varphi$ calcolata in to..... che per il teorema fondamentale del calcolo...

dimostra che la predistibruzione in effetti converge ad una delta di Dirac.

Quindi con funzioni test in $\text{C}^\infty(\mathbb{R})$ (in effetti con questa particolare predistirbuzione mi parrebbe sufficiente $\text{C}^0(\mathbb{R})$ , tutto ok, fila via liscio liscio ma...

se invece tento di fare la stessa cosa con una funzione non continua in to iniziano i problemi...ottengo risultati diversi a seconda di come definisco la predistribuzione, nel senso di come ak e bk tendono a to....

Con un approccio simmetrico tipo (1) dato che

$\lim_{k\rightarrow\infty}\varphi(a_k)=\lim_{t\rightarrow t_0^-}\varphi(t)\ne\lim_{t\rightarrow t_0^+}\varphi(t)=\lim_{k\rightarrow\infty}\varphi(b_k)$

ottengo una primitiva non derivabile in to

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Invece con una predistribuzione (successione di rettangoli) tipo (3) otterrei la derivata destra della primitiva e quindi

$\|f\|_\varphi=\left.\frac{\text{d}\,\Phi}{\text{d}t}\right|_{t\rightarrow t_0^+}=\varphi(t_0^+)$

O anche simmetricamente rispetto to derivata e limiti sinistri.

$\|f\|_\varphi=\left.\frac{\text{d}\,\Phi}{\text{d}t}\right|_{t\rightarrow t_0^-}=\varphi(t_0^-)$

e ancora un valore diverso...

Io chiamerei questi oggetti "delta unilatere" anche se in effetti non sia proprio sicuro che un matematico sarebbe proprio molto contento di tutta 'sta storiella, di quanto siano applicabili e di quali effetti collaterali ci dovremmo attendere...

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