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da **elettrobit** » 4 dic 2012, 13:50

Salve a tutti,
ho il seguente problema:

l'integrale indefinito di una sinusoide è una sinusoide pura o una sinusoide con una componente continua sovrapposta?

Esempio:

abbiamo un'induttanza L sottoposta ad un forzamento v(t)

sinusoidale e nella quale scorre una corrente i(t)

Da

si ricava:
$i(t) = \int v(t) dt + costante$

Il mio dubbio è questo:
se il forzamento (ossia la v(t)

) è sinusoidale, il suo integrale indefinito è ancora sinusoidale ma, sommandoci la costante, la corrente i(t) potrebbe essere una sinusoide con una componente continua diversa da zero ad essa sovrapposta.
Dove sbaglio?

Mi rendo conto che i(t) DEVE essere sinusoidale (altrimenti non avrebbe senso lo studio del regime sinusoidale in elettrotecnica).

Grazie per le risposte.

da **IsidoroKZ** » 4 dic 2012, 14:23

Ci puo` essere una componente continua sovrapposta, dipende dalle condizioni iniziali. Una induttanza ideale con tensione nulla ai suoi capi mantiene la corrente indefinitamente, come una capacita` a circuito aperto mantiene la tensione ai suoi capi.

Se pompi una corrente sinusoidale in un condensatore la tensione ai suoi capi e` a valor medio nullo o c'e` una componente continua?

Questa era la risposta facile, quella "intuitiva", ma nota che non ho detto che se la condizione iniziale e` nulla non c'e` componente continua. Adesso invece ti racconto la parte meno intuitiva. Prendiamo una capacita` inzialmente scarica e sottoponiamola a una corrente sinusoidale (valor medio nullo), come in figura

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La tensione sul condensatore (rossa) parte da zero, e la corrente applicata e` sinusoidale. L'integrale della corrente nella prima semionda e` tratteggiato in viola chiaro dopo mezzo periodo la tensione sul condensatore e` salita ad un certo valore di picco. Comincia poi la parte negativa della corrente, il cui integrale in azzurro e` quello che "disintegra" la tensione sul condensatore, fino a riportarla a zero.

Un ciclo completo di corrente nel condensatore e la tensione finale e` uguale a quella iniziale, ma la tensione media su C NON e` nulla! La cosa che bisogna ricordare e` che condizioni iniziali nulle non implicano tensioni medie nulle (o correnti medie nulle).

Eppure l'elettrotecnica funziona bene: come mai? Che differenza c'e` fra l'esempio fatto e l'alternata dell'elettrotecnica?

da **elettrobit** » 4 dic 2012, 19:20

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.

IsidoroKZ ha scritto:Se pompi una corrente sinusoidale in un condensatore la tensione ai suoi capi e` a valor medio nullo o c'e` una componente continua?

Dualmente a quanto ho scritto per l'induttanza, ci potrebbe essere una componente continua sovrapposta alla tensione ai capi del condensatore.

Un ciclo completo di corrente nel condensatore e la tensione finale e` uguale a quella iniziale, ma la tensione media su C NON e` nulla! La cosa che bisogna ricordare e` che condizioni iniziali nulle non implicano tensioni medie nulle (o correnti medie nulle)

Ho fatto un po' di conti, supponendo una corrente sinusoidale $i(t) = A sin (\omega t)$ e il condensatore inizialmente scarico ( v(t)=0

), la tensione mi viene:

$v(t) = A [1-cos \omega t] / (\omega C)$

Quindi effettivamente anche condizioni iniziali nulle su C non implicano una tensione ai suoi capi a valor medio nullo. E' corretto? Non mi riesco a spiegare il perché.

La componente continua in tal caso è $A/ (\omega C)$ , dove A è l'ampiezza della corrente.
Per annullarla dovrebbe essere A=0

, ma questo significherebbe corrente nulla.
Dunque, ipotizzando condizioni iniziali nulle, quando si annulla la componente continua di v(t)

?

Eppure l'elettrotecnica funziona bene: come mai? Che differenza c'e` fra l'esempio fatto e l'alternata dell'elettrotecnica?

C'entra qualcosa che li si suppone che tutti i transitori si siano estinti?
(anche se ne dubito, perché nell'esempio che hai fatto non vedo alcun transitorio)

Mi chiarisci un po' le idee?
Ho bisogno di estrarre il succo del discorso.

Grazie

da **IsidoroKZ** » 4 dic 2012, 20:02

Direi che le considerazioni che hai fatto siano corrette.

Il motivo per cui c'e` quel valore medio e` perche' la corrente prima fa tutto un semiciclo positivo, e carica il condensatore, e poi tutto un semiciclo negativo che lo scarica di nuovo a zero. Se consideri una corrente fatta in un altro modo, come questa qui sotto in verde:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ottieni che la tensione media sul C e` nulla, sempre partendo dalle stesse condizioni iniziali.

Se vuoi integrare un ciclo di sinusoide, hai valore medio, a meno che la sinusoide non sia di ampiezza nulla (un caso un po' degenere). Oppure integri un ciclo di cosinusoide e non c'e` valor medio perche' quando integri il risultato e` $v(t)=\frac{\sin(\omega t)}{\omega C}$ .

Vediamo se qualcun altro dice queste cose in modo diverso e migliore.

Il fatto che in elettrotecnica questo aspetto non sia considerato dipende dal fatto che si considerano segnali a regime, mentre quello che ho usato io ha un inizio, e questo ne cambia lo spettro. Quando in elettrotecnica ci sono interruttori che si aprono e chiudono diventa molto difficile usare i fasori, si va nel dominio del tempo. In pratica e` come hai detto tu, si considerano i transitori gia` estinti da lungo tempo, anche se in teoria alcuni transitori potrebbero non estinguersi mai, ad esempio questo di cui stiamo trattando.

Volendo, parlando un po' male, si potrebbe anche dire che c'e` un altro motivo per cui con il regime sinusoidale, fasoriale, questo valor medio non si vede. E la ragione e` che un fasore e` solo la componente a frequenza $\omega$ della tensione totale: le armoniche, le componenti continue non si vedono. Pero` il discorso e` un po' critico e cosi` e` fatto senza rigore

da **DirtyDeeds** » 4 dic 2012, 22:10

Un altro modo di vedere la cosa è questo:

$C\frac{\mathrm{d}v_C(t)}{\mathrm{d} t} = i(t)$

è una equazione differenziale non omogenea. L'integrale generale di tale equazione è la somma dell'integrale generale dell'omogenea associata e di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea.

Quando la corrente forzante i(t)

è una sinusoide di pulsazione $\omega$ , la soluzione "dell'elettrotecnica" è una soluzione particolare, di componente continua nulla (perché i fasori, appunto, considerano solo la componente di pulsazione $\omega$ ).

L'integrale generale dell'omogenea associata si trova risolvendo l'equazione

$C\frac{\mathrm{d}v_C(t)}{\mathrm{d} t} = 0$

che dà

v_C(t) = V_C

dove

è una costante.

La soluzione generale per uno stimolo sinusoidale $i(t) = I_\text{p}\sin(\omega t+\varphi)$ è quindi

$v_C(t) = V_C - \frac{I_\text{p}}{\omega C}\cos(\omega t+\varphi)$

e V_C