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da **Gia1988** » 12 dic 2012, 21:57

Ciao a tutti sapete come si svolge un problema di questo tipo?

In una buca di potenziale unidimensionale di larghezza L ed infinitamente profonda una particella si trova nello stato:

$u(x)=a\cdot u_{1}(x) + b\cdot u_{2}(x) =a\sqrt{\frac{2}{k_{0}L}}sin(k_{0}x)+b\frac{sin(4k_{0}x)}{\sqrt{2k_{0}L}}$

con k0 = π/L ed a e b costanti reali.

a. Scegliere i valori di a e b in modo tale che la densità di
probabilità di trovare la particella al centro della buca sia 0.3
b. Calcolare, per i valori di a e b trovati, l’energia della particella
se m=me=9.110-31Kg ed L=10nm.

da **DirtyDeeds** » 12 dic 2012, 23:14

Curiosa normalizzazione delle autofunzioni...

Devi imporre due condizioni:

1) $u^2(L/2) = 0{,}3$

2) $\int_0^L u^2(x)\text{d} x = 1$

da **Gia1988** » 13 dic 2012, 0:01

Grazie mille per la risposta.. :)

Posso una domanda...forse un po stupida..
Ma se io ho la mia funzione d'onda e ne faccio il modulo quadro...per la buca di potenziale infinita ottengo:
$u^{2}(x)=\frac{2}{L}sin^{2}(\frac{n\pi x}{L})$

ora se mi chiedono di trovare la probabilità che la particella sia in L/2 per n=1 cioè nello stato fondamentale ottengo 2/L e se L=1 ottengo 2!!
ma è una probabilità quella? no? mi sono perso qualche dettaglio,vero??

da **DirtyDeeds** » 13 dic 2012, 0:22

Gia1988 ha scritto:ma è una probabilità quella?

No, non è una probabilità, è una densità di probabilità. La probabilità di trovare la particella tra x_1

e

vale

$\int_{x_1}^{x_2}u^2(x)\text{d}x$

Gia1988 ha scritto:Ma se io ho la mia funzione d'onda e ne faccio il modulo quadro...per la buca di potenziale infinita ottengo:
$u^{2}(x)=\frac{2}{L}sin^{2}(\frac{n\pi x}{L})$

Quella è la funzione d'onda corrispondente ad uno stato stazionario del tuo sistema. Lo stato in [1] è una sovrapposizione di due stati stazionari.

da **Gia1988** » 13 dic 2012, 1:05

Grazie!

MA allora in pratica come risolvo un problema del genere?

Un sistema di due particelle identiche e di massa m sono in una buca infinita di potenziale, unidimensionale, di lunghezza l, e si trovano negli stati di una singola particella u1(x) ed u2(x), essendo queste le autofunzioni dell' energia di particella singola con autovalori E1 ed E2, rispettivamente.
Si chiede di calcolare esplicitamente la probabilità che le particelle si trovino al centro della buca nel caso in cui le particelle siano elettroni con i dati seguenti:
l=10nm
m=m0

con:

$u1(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{\pi x}{l})$
$E1=\frac{1}{8m}(\frac{h}{l})^2$

ed
$u2(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{4\pi x}{l})$
$E2=\frac{2}{m}(\frac{h}{l})^2$

da **DirtyDeeds** » 14 dic 2012, 9:31

Gia1988 ha scritto:MA allora in pratica come risolvo un problema del genere?

Te l'ho scritto in [2] :!:

Gia1988 ha scritto:Si chiede di calcolare esplicitamente la probabilità che le particelle si trovino al centro della buca

La probabilità che un elettrone si trovi al centro della buca è NULLA. Nel problema esposto in [1] si parla di densità di probabilità, non di probabilità.

PS: problemi come quello esposto in [1] hanno scarso significato fisico (

PietroBaima concordi?), ma tant'è.

da **Gia1988** » 14 dic 2012, 11:52

Non riesco a capire perché è nulla la probabilità di trovare l'elettrone al centro della buca.
Io ho studiato che se siamo nel primo stato stazionario la densità di probabilità è massima al centro.

da **PietroBaima** » 14 dic 2012, 11:58

DirtyDeeds ha scritto:PS: problemi come quello esposto in [1] hanno scarso significato fisico (PietroBaima concordi?), ma tant'è.

Concordo, non solo hanno scarso significato fisico, ma sono anche malposti.

Se rispondessi, a quel problema, che la soluzione non esiste, il professore non potrebbe bocciarmi.
L'unica cosa positiva è che si capiscono le richieste del problema.

In ogni caso non voglio essere troppo "talebano", anche se in effetti la voglia di lamentarmi un po' ce l'ho :mrgreen:

Per il resto

DirtyDeeds ha risposto più che bene (d'altronde non poteva essere altrimenti, conoscendolo

), la soluzione è tutta nel suo post.

Per ultima cosa scrivo che questo genere di problemi aiutano molto a confondere le idee.

Ma si sà, l'esame è l'esame.

da **DirtyDeeds** » 14 dic 2012, 12:00

Gia1988 ha scritto:Non riesco a capire perché è nulla la probabilità di trovare l'elettrone al centro della buca.

Ma un po' di teoria della probabilità l'avete fatta?

Dal messaggio [4], la probabilità di trovare la particella tra x_1

e

vale

$p = \int_{x_1}^{x_2}u^2(x)\text{d}x$

se x_1=x_2

, qualunque sia il punto, quella probabilità è nulla. Per trovare una probabilità non nulla devi considerare un intervallo di posizioni, per esempio la probabilità di trovare la particella tra $x_0-\Delta x/2$ e $x_0+\Delta x/2$ : se $\Delta x$ è sufficientemente piccolo, si ha $p \approx u^2(x_0)\Delta x$ .

da **PietroBaima** » 14 dic 2012, 12:01

Gia1988 ha scritto:Non riesco a capire perché è nulla la probabilità di trovare l'elettrone al centro della buca.

Quanto vale una probabilità calcolata in un intorno non distribuzionale?

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