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da **wizard** » 19 gen 2013, 10:42

Salve

Ho il seguente problema

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Praticamente ho un integrale su T di 2 grandezza sinusoidali V(x) ed I(x), dove T rappresenta un periodo intero delle mie sinusoidi.
V(x)=sen(x) mentre I(x)=sen(x)+sex(3x)+sen(5x)+sen(7x)+...
Ora mi chiedo perché se considero un numero intero di periodi posso eliminare tutte le altre armoniche multiple della fondamentale?

Chiedo scusa per la rappresentazione della formula ma non so come scriverla altrimenti.

da **g.schgor** » 19 gen 2013, 15:16

wizard ha scritto: non so come scriverla altrimenti

con tex :

$\frac{1}{T} \int_{0}^{T}V(x)\cdot I(x) dx$

da **carloc** » 19 gen 2013, 15:58

...comincia con calcolare questo integrale ;-)

$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \sin x \ \sin nx \,\text{d}x$

troverai un risultato con n come parametro....
poi discutiamo il risultato

P.S. mi pare ci sia un po' di confusione nelle notazioni....
o usi

come argomento dei seni e integri su $[0,2\pi]$ e poi medi usando $1/2\pi$

o usi $\omega t =\frac{2\pi }{T}t$ e integri su [0,T]

e medi con 1/T

da **wizard** » 19 gen 2013, 17:20

Mi trovo

1/2pi[(sen(1-n)x)/(2(1-n))-(sen(1+n)x)/(2(1+n))]

che integrato tra 0 e 2π mi dà 0!!!

da **carloc** » 20 gen 2013, 2:26

ok zero ma per quali n?

a denominatore vedo un 1-n non è che per n=1 ti trovi una forma indeterminta ;-)

.... fatto il limite?

P.P.S. quella formula è illeggibile (e da semplificare) :cry:

magari è meglio se leggi nell'help del sito come si usa Latex :ok:

comunque se fermi il puntatore del mouse su una formula vedi cosa si deve scrivere per ottenerla

da **wizard** » 20 gen 2013, 17:06

Per tutti i valori di n ad eccezione di 1 e -1
Ok mi leggerò l'help ;-)

PS Per vedere come viene fuori l formula uso "anteprima"...non va bene? :roll:

da **carloc** » 20 gen 2013, 22:30

wizard ha scritto:Per tutti i valori di n ad eccezione di 1 e -1

Sì ok

proprio quello che volevo sentirti dire :ok:

ma lasciamo perdere gli indici minori di zero che si usano nella serie di esponenziali complessi ;-)

quindi siamo giunti alla conclusione che (se non è zero viene 1/2 vero?)

$\frac{1}{T}\int_0^T \sin \omega t \ \sin n\omega t\,\text{d}t= \begin{cases}\frac{1}{2}&\mbox{se} \ n=1 \\ 0 & \mbox{se}\ n\ne 1 \end{cases}$

con $\omega=\frac{2\pi}{T}$

come dire che abbiamo scoperto l'ortogonalità tra le varie armoniche

A questo punto applicherei la cosa al problema iniziale che avevi...

$\frac{1}{T}\int_0^T v(t)\, i(t)\,\text{d}t$

con
$v(t)=V_1\sin\omega t$
e
$i(t)=I_0+I_1\sin\omega t+I_3\sin 3\omega t +\ldots=\sum_n I_n \sin n\omega t$

cosa ne dici di sostituire queste espressioni e poi usare la linearità dell'integrale per "spezzettarlo" in una somma di integrali ...

P.S. sì per le formule un'occhiata con l'anteprima la darei sempre e usa, il fatto è che quella che hai scritto magari è anche corretta ma costringe un povero cristo che la volesse leggerla a contare parentesi e immaginersela :roll:

... e io non ne ho voglia

da **wizard** » 21 gen 2013, 22:57

Il risultato che mi viene svolgendo l'integrale

$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v(t)i(t)dt$

è $\frac{V1I1}{2}$ perché praticamente rimane solo il termine con $V1I1\sin^2(\omega t)$

da **carloc** » 21 gen 2013, 23:18

Sì esatto

e mi pare che questo risponda alla tua domanda iniziale. :ok:

Più in generale se anche la tensione avesse armoniche ciascuna avrebbe potenza media non nulla solo con l'armonica di corrente dello stesso ordine.....

$P=I_0V_0+\frac{I_1V_1}{2}+\frac{I_2V_2}{2}+\frac{I_3V_3}{2}+\ldots$

mentre le altre "incrociate" sono nulle.

Lo stesso se ci fossero dei coseni.... loro sono ortogonali con i seni indipendentemente dall'ordine.

Hai fatto grandi progressi con Latex :ok: