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da **volpi** » 23 gen 2013, 16:06

Ok, mi era sfuggito per la mente che ero nella situazione di prima... #-o

quindi devo fare $arg(z) = arctg\left (\frac{-sen(2\pi fT) - sen(2\pi f2T)}{cos(2\pi fT) + cos(2\pi f2T)}\right )$

Ma anche così non saprei come graficarla...

da **jordan20** » 23 gen 2013, 17:43

volpi ha scritto:Ma anche così non saprei come graficarla...

E neanche io :-P

Infatti sarebbe conveniente procedere così, vediamo se esce qualcosa di buono... Riprendiamo la risposta armonica complessiva della cascata dei due filtri:

$H(f)=\frac{1}{j2\pi f}\left [e^{-j2\pi fT}-e^{-j2\pi f2T} \right ]$

Nessuno mi vieta che posso scrivere quanto segue:

$2T=\frac{3}{2}T+\frac{1}{2}T$

$T=\frac{3}{2}T-\frac{1}{2}T$

no :?:

Vado a sostituire agli esponenti:

$H(f)=\frac{1}{j2\pi f}[e^{-j2\pi f\left (\frac{3}{2}T-\frac{1}{2}T \right )}-e^{-j2\pi f\left (\frac{3}{2}T+\frac{1}{2}T \right )}$ ;

$H(f)=\frac{1}{j2\pi f}[e^{-j2\pi f\frac{3}{2}T}e^{j2\pi f\frac{1}{2}T}-e^{-j2\pi f\frac{3}{2}T}+e^{-j2\pi f\frac{1}{2}T \right )}]$ ;

Prendo in evidenza il fattore comune e faccio qualche semplificazione agli esponenti:

$H(f)=\frac{1}{\pi f}e^{-j3\pi fT}\left [\frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{2j} \right ]$ ;

$H(f)=\frac{e^{-j3\pi fT}}{\pi f}\sin(\pi fT)$

Moltiplico e divido per $\frac{T}{T}$ e ottengo:

$H(f)=T\text{sinc}(fT)e^{-j3\pi fT}$

senza dubbio molto più "gestibile" di quanto ottenuto prima. Suppongo per un attimo che non abbia il termine esponenziale: ancora nessuno mi vienta che questa funzione la posso scrivere come:

$H(f)=T\text{sinc}(fT)=T\left |\text{sinc}(fT) \right |\cdot \text{sgn}[\text{sinc}(fT)]$

perché ho scritto così? perché la funzione segno assume (per definizione) valori $\pm 1$ dipendentemente dall'andamento del seno cardinale. E' lecito scrivere:

$+1=e^{j2k\pi }$

$-1=e^{j(2k+1)\pi }$

e dal momento che la fase è periodica di periodo $2 \pi$ , sono libero di rappresentare lo spettro della fase nell'intervallo $[-\pi , \pi]$ . Per cui lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase saranno rispettivamente:

$\left |H(f) \right |=T\left |\text{sinc}(fT) \right |$

e il suo andamento è una cosa di questo tipo (sono in ufficio e non riesco a usare FidoCadJ con le sessioni virtualizzate

):

: AMPIEZZA1.JPG (24.8 KiB) Osservato 724 volte

Per lo spettro di fase:

$\angle H(f)=\left\{\begin{matrix} 0,\,\,\, \text{sgn}[\text{sinc}(fT)]=1\\ 1,\,\,\,\text{sgn}[\text{sinc}(fT)]=-1 \end{matrix}\right.$

con andamento di questo tipo:

: FASE1.JPG (18.49 KiB) Osservato 724 volte

Se adesso consideriamo anche l'esponenziale, e suppongo di chiamare $H_{1}$ la nostra risposta in frequenza, l'unica cosa che cambia è solo lo spettro di fase, che ha questa relazione:

$\angle H_{1}(f)=\angle H(f)-3\pi fT$

dove H(f)

è quella di prima e l'andamento è una cosa del genere (attenzione che i valori non coincidono con il nostro esercizio, sempre per il fatto che non posso fare il disegno esatto con FidoCadJ):