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da **DayWalker** » 14 feb 2013, 10:38

Ciao a tutti,
ho bisogno di un vostro aiuto per un problema di conduzione del calore.
Supponiamo di riscaldare una piastra metallica in una estemità dell'oggetto e di dover rilevare la tmperatura in un'altra estremità. Quando la temperatura in questa ultima estremità raggiunge una certa temperatura io smetto di riscaldare la prima estemità. Ma quando smetto di riscaldare suppongo che ancora il calore si propaghi da una estremità all'altra giusto? Come faccio a sapere con quale legge si propaga e in quanto tempo?

Grazie

da **DayWalker** » 14 feb 2013, 11:07

Vorrei fare un esempio in merito.
Suppongo di avere in una estermità una temperatura di 10°. Nell'altra estemità comincio a riscaldare con una temperatura di 30°. Il materiale comincia a diffondere calore dalla parte più calda alla parte più fredda. Nella parte più fredda è presente un sensore di temperatura che mi dice quando la temperatura arriva a 30°. In questo momento smetto di riscaldare.
Cosa succede adesso al sistema che ha i due estremi la stessa temepratura? Come sicomporta laparte che inizialmente era più fredda? Come variano le temperature?

Grazie

da **jordan20** » 14 feb 2013, 11:18

Si fin quando non si ristabilisce una condizione di regime stazionario; quando togli la sorgente di calore, cioè la sollecitazione, il sistema è in evoluzione libera e tende a ristabilire la condizione di equilibrio tendendo ad annullare il gradiente di temperatura (cioà la differenza di temperatura tra le due estremità) mediante un flusso di calore che si propaga nel senso opposto al gradiente. Nel caso dei solidi, come il nostro, la legge che regola la propagazione del calore in presenza di un gradiente di temperatura è l'equazione di diffusione o equazione del calore che descrive l’andamento della temperatura in funzione delle coordinate spaziali e del tempo in un mezzo conduttore. In particolare, a partire da una certa distribuzione iniziale, ci permette di prevedere la distribuzione in un istante futuro, ed ha espressione generale:
$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2}\nabla^{2}u$
dove $a^{2}$ è il il coeﬃciente di diﬀusione e $\nabla^{2}u$ è l'operatore laplaciano che è definito in generale come somma delle derivate seconde parziali ciascuna per le tre dimensioni x,y,z.
Ora bisogna capire se tu devi fare una misura reale e quindi vuoi considerare tutte e tre le dimensioni o semplificare a scopo didattico al solo caso monodimensionale perché le cose cambiano eccome. Dal post [2] mi sembra di capire che tu sai a priori l'andamento della temperatura perché riscaldi con un termostato ad esempio. Allora ci vogliono delle adeguate condizioni al contorno per la risoluzione ... e credo che quelle che fanno al tuo caso siano le condizioni di Dirichlet applicate al caso di equazione differenziale alle derivate parziali (che è proprio il nostro caso). Come vedi però non è un problema banale...

da **guzz** » 14 feb 2013, 11:26

ma non era $\frac{\partial T}{\partial t}=a\nabla^{2}T$ ?

comunque la soluzione in regime stazionario ( $\frac{\partial T}{\partial t}=0$ ) è relativamente semplice, conoscendo le condizioni di contorno.

se ci mettiamo la variazione nel tempo è un po' un casino... un po' tanto, direi...

da **jordan20** » 14 feb 2013, 11:29

Si è T, u è una funzione generica perché quell'equazione può valere anche nel caso di onde elettromagnetiche, nel caso di diffusione nei semiconduttori ecc...

guzz ha scritto:se ci mettiamo la variazione nel tempo è un po' un casino... un po' tanto, direi...

e appunto a questo mi riferivo con "non banale" :mrgreen:

da **jordan20** » 14 feb 2013, 11:33

ah il coefficiente del laplaciano è al quadrato a^2

da **guzz** » 14 feb 2013, 11:37

in fisica tecnica usavamo a, non al quadrato.

che poi in pratica non cambia nulla, è solo una finezza matematica, no?

da **jordan20** » 14 feb 2013, 11:41

E' più che altro una ragione dimensionale. Il laplaciano, nel caso monodimensionale ha una lunghezza al quadrato al denominatore per cui, per "far appattare la settanta" (come dicono in California :mrgreen:

) a deve avere le dimensioni di una lunghezza al quadrato diviso il tempo. Però si, volendo posso definire direttamente una costante a, k, pippo ecc che sia già dimensionalmente utile al nostro scopo