ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **volpi** » 14 feb 2013, 15:10

Salve a tutti,

Come faccio a calcolare la trasformata di $x(t) = Sinc^2\left (\frac{t}{T}\right )$ ??

Io opterei per questo procedimento: scompongo x(t) in 2 funzioni uguali ----> $Sinc \left (\frac{t}{T} \right )$ e poi applicherei la formula F(g(t)y(t)) = G(f) * Y(f)

dove * è la convoluzione, g(t)=y(t) e G(f) e Y(f) sono le rispettive trasformate

G(f)=Y(f) = TRect(fT)

adesso dovrei applicare la convoluzione ma qui mi blocco... potete aiutarmi?? grazie mille

il procedimento è corretto? o c'è un altro modo di procedere?

Intuitivamente so che il grafico verrebbe un triangolo centrato sullo zero ma non ne sono sicuro...

da **jordan20** » 15 feb 2013, 11:11

Basta ricordare l'esistenza della seguente coppia notevole (nel senso che è già tabellata appositamente per evitare di rifare i calcoli ogni volta) di trasformate di Fourier:

$\text{tri}(t)\leftrightarrow \text{sinc}^{2}(f)$

Applicando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier è possibile ottenere da ogni coppia $x(t)\leftrightarrow X(f)$ una nuova coppia $X(t)\leftrightarrow x(-f)$ ; quindi nel nostro caso, supponendo per ora unitario il fattore di scala k=1/T

, si ha:

$\text{sinc}^{2}(t)\leftrightarrow \text{tri}(f)$

in quanto la funzione "triangolo" ha simmetria pari per cui x(-f)=x(f)

. Se adesso consideriamo il fattore di scala k=1/T

, occorre applicare oltre alla proprietà di dualità, la proprietà di cambiamento di scala (o scalamento) secondo la quale, in generale:

$x(kt)\leftrightarrow \frac{1}{\left |k \right |}X\left (\frac{f}{k} \right )$

per cui sostituendo ottieni... continua tu

volpi

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EDIT: Qui un formulario riepilogativo di Teoria Dei Segnali dove trovi, tra le altre cose, le trasformate di Fourier notevoli. ;-)

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RE-EDIT: E' chiaro che se ti viene richiesto esplicitamente di risolvere senza l'uso delle trasformate notevoli, puoi procedere come stavi facendo tu, cioè riguardando la funzione seno quadro cardinale come prodotto di due seni cardinali:

$\text{sinc}^{2}\left (\frac{t}{T} \right )=\text{sinc}\left (\frac{t}{T} \right )\cdot \text{sinc}\left (\frac{t}{T} \right )$

Applicando il teorema della convoluzione per il quale:

$x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\leftrightarrow X_{1}(f)\star X_{2}(f)$

per il nostro caso risulta:

$\text{sinc}\left (\frac{t}{T} \right )\cdot \text{sinc}\left (\frac{t}{T} \right )\leftrightarrow T\text{rect}(Tf)\star T\text{rect}(Tf)$

Ora puoi decidere di sviluppare subito per via grafica la convoluzione nel dominio della frequenza, oppure applicare la proprietà di differenziazione della convoluzione che, in generale, ci dice che:

$\frac{\mathrm{d} (f\star g)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\star g=f\star \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$

In questo caso puoi applicare indifferentemente la derivata a uno dei due fattori del prodotto di convoluzione, ad esempio al secondo, per cui ottieni:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f}[T\text{rect}(Tf)\star T\text{rect}(Tf)]=T\text{rect}(Tf)\star \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f}[T\text{rect}(Tf)]$

$=T\text{rect}(Tf)\star 2[\delta (f+1)-\delta (f-1)]$

da cui, applicando la proprietà di convoluzione con l'impulso secondo la quale, in generale:

$g(x)\star \delta (x-x_{0})=g(x-x_{0})$

Quindi nel nostro caso... dai

volpi ti ho dato diversi input, continua tu e poi vediamo dove ti blocchi e ne discutiamo :ok:

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Trasformata di Fourier di una Sinc al quadrato

[1] Trasformata di Fourier di una Sinc al quadrato

[2] Re: Trasformata di Fourier di una Sinc al quadrato

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