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da **Vibia** » 14 mar 2013, 0:40

Salve a tutti,

Scusatemi se apro un infinità di topic, ma purtroppo ogni tanto mi vengono dei dubbi su certe cose e solo voi mi potete aiutare

Quando risolvo un circuito del secondo ordine grosso modo opero in questo modo

1)Supposto che la rete sia in regime stazionario per t<0 risolvo il circuito per ricavarmi le condizioni iniziali che mi permetteranno di calcolare le costanti del problema di cauchy
2)Studio la rete per t>0 e per valutare il transitorio faccio in questo modo
-Spengo tutti i generatori ideali di corrente e tensione lasciando la rete con le sole resistenze condensatori e
induttanze
-Studio la rete resistiva associata in modo tale da ricavarmi le equazioni di stato

Ora, alla base del mio ragionamento e del mio modo di risolvere la rete c'è il fatto che io mi ricavo solo l'equazione omogenea associata e spegnendo il generatore elimino il forzamento che mi sarebbe comparso nella soluzione con l'integrale particolare dell'equazione.

Qui viene la mia domanda che però credo debba formularvi mediante un esempio perché non riesco a trovare le parole

Il Circuito è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La Rete passivizzata è

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Le equazioni di stato
$\left\{\begin{matrix} C\frac{dv_c}{dt}=-\frac{v_c}{R}\\ L\frac{di_L}{dt}=v_c\ \end{matrix}\right.$

Se mi scrivo tutto in funzione della i_L

ho

$LC\frac{d^2i_L}{dt^2}+\frac{L}{R}\frac{di_L}{dt}+i_L=0$

Siccome devo ricavare dalla soluzione di questa equazione differenziale due costanti imponendo le due condizioni mi serve necessariamente anche la V_c

Ma quella che tecnicamente mi ricaverei dalla relazione

$L\frac{di_L}{dt}=v_c$

Non è valida giusto?
Quindi come faccio?come me la ricavo la soluzione della v_c

??

Grazie a tutti per l'aiuto

da **mapi** » 14 mar 2013, 9:38

Vibia ha scritto:1)Supposto che la rete sia in regime stazionario per t<0 risolvo il circuito per ricavarmi le condizioni iniziali che mi permetteranno di calcolare le costanti del problema di cauchy

Per quel che ricordo io le condizioni iniziali sono dati del problema, il problema ha una soluzione diversa a secondo che il condensatore sia inizialmente carico o scarico.

Ma questo tipo di problema non ha un interruttore che stabilisca quando è t<0 e quando è t>0 perché nell'istante t=0 cambia la posizione dell'interruttore. Nel qual caso le condizioni iniziali le determini studiando il sistema a regime nella condizione t<0, non necessariamente annullando i generatori. Tutto dipende dove cosa cambia all'istante t=0.

Ciao :-)

da **lillo** » 14 mar 2013, 11:29

credo che

mapi abbia ragione.
il problema così come è posto non sembra avere abbastanza informazioni sulle condizioni iniziali.
possiamo fare solo supposizioni.
ad esempio a me da l'impressione che inizialmente tutti i componenti siano scarichi.
posta la traccia originale, o se puoi uno scan della pagina del problema.

da **mapi** » 14 mar 2013, 12:31

Innanzitutto grazie per i voti, è stata una piacevole sorpresa

Vibia credo che il discorso sia questo:
- se il sistema è in uno stato a regime e non cambia niente non c'è motivo che cambi stato spostandosi in un altro stato a regime, cioè non esiste un t<0 e un t>0
- deve all'istante t=0 succedere qualcosa, che di solito è l'introduzione di un nuovo componente (o di una parte di circuito) con la chiusura di un interruttore oppure l'esclusione di un componente (o di una parte di circuito) con l'apertura di un interruttore

A questo punto hai un t<0 e un t>0

t<0 è lo stato a regime prima dell'istante t=0, la tua situazione iniziale, per conoscere la quale non devi eliminare i generatori ma considerare i condensatori come circuiti aperti e le induttanze come cortocircuiti (siamo in corrente continua e a regime)
t>0 hai un transitorio, da calcolare con qualche equazione differenziale, che porta a un nuovo stato a regime

da **Vibia** » 14 mar 2013, 14:23

mapi e

lillo scusate avete ragione, mi sono spiegato malissimo

Adesso vi posto tutto il ragionamento completo che ho fatto per risolvere la rete
Allora la rete completa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

I dati sono
$R_1=R_2=20\Omega$
C=100uF

Adesso per t<0

La rete è a regime stazionario, utilizzo la sovrapposizione degli effetti
e trovo che le mie condizioni iniziali sono

$\left\{\begin{matrix} v_c=100V\\ i_L=1A \end{matrix}\right.$

Adesso mi studio la rete per t>0

La rete diventa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ora, siccome trovo difficoltà a scrivermi l'equazione di stato quando sono attivi i forzamenti,
mi risulta più comodo spegnere i generatori sfruttando il fatto che l'omogenea associata è sempre la stessa.
Anche perché poi quando mi voglio calcolare il contributo del forzamento mi studio la rete a regime.

Ora ritornando al discorso fatto al primo post, scrivo la rete resistiva associata
La Rete passivizzata è

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Le equazioni di stato
$\left\{\begin{matrix} C\frac{dv_c}{dt}=-\frac{v_c}{R}\\ L\frac{di_L}{dt}=v_c\ \end{matrix}\right.$

Mi scrivo tutto in funzione della i_L

ho

$LC\frac{d^2i_L}{dt^2}+\frac{L}{R}\frac{di_L}{dt}+i_L=0$

Supponendo di aver fatto i calcoli in modo corretto ho che
$I_L=C_1e^{-1990t}+C_2e^{-10t}+\overline{i}(t)_L_p$

Mi cerco $\overline{i}(t)_L_p$ e valutando la rete a regime ho

$\overline{i}(t)_L_p=2cos(100t-\pi/2)$

Quindi avrò
$I_L=C_1e^{-1990t}+C_2e^{-10t}+2cos(100t-\pi/2)$

Applico la prima condizione ed ottengo C_1+C_2=1

Ora arriva la mia domanda (finalmente

)
Io adesso per trovarmi la seconda condizione devo necessariamente calcolarmi v_c

che avrei fatto in modo meccanico in questo modo

$v_c(t)= L\frac{d}{dt}(C_1e^{-1990t}+C_2e^{-10t}+2cos(100t-\pi/2))$

Calcolata la derivata, avrei applicato la condizione su v_c

che mi ero trovato e avrei proseguito nei calcoli.

Ora, credo che il secondo passaggio non lo posso fare perché io considero un forzamento legato solo alla i_L

e trascurando la tensione sul condensatore...

Però il problema è che non so come uscirne da questa problematica in quanto tutto è causato dal fatto che io spengo i generatori e mi scrivo l'equazione facile facile...

[In Aggiunta]
Avevo pensato che magari potevo valutare anche la tensione del condensatore quando la rete è a regime facendo semplicemente in questo modo

$v_c(t)= L\frac{d}{dt}(C_1e^{-1990t}+C_2e^{-10t}+2cos(100t-\pi/2))+\overline{v}(t)_c_p$

dove

$\overline{v}(t)_c_p=200V$

da **RenzoDF** » 14 mar 2013, 15:38

Devo ancora capire cosa succeda per t=0, si chiude o si apre forse l'interruttore?

BTW quelle condizioni iniziali come le hai ricavate?

da **Vibia** » 14 mar 2013, 15:51

a

l'interruttore si apre

Le condizioni iniziali le ricavate studiando la rete a regime applicando la sovrapposizione degli effetti rispettivamente del generatore di tensione costante che mi da
i_L=1A

E il generatore di corrente alternata che mi da, utilizzando il metodo simbolico, i valori nel dominio del tempo di
i_l=0

Questo è il ragionamento che ho fatto

da **mapi** » 14 mar 2013, 18:37

Vibia ho provato a seguire i tuoi calcoli, arrivo anch'io alla equazione differenziale da te scritta, ma non trovo i tuoi valori 1990 e 10 come esponenziali della soluzione dell'equazione differenziale.

La soluzione particolare della iL mi sembra giusta.

Io credo che $L\frac{di_{L}}{dt}=v_{C}$ sia valida istante per istante, quindi calcolerei vC derivando iL, però aspetta anche il parere di qualcuno che ne sappia più di me

Ciao :-)

da **Vibia** » 14 mar 2013, 18:46

mapi grazie per la risposta! probabilmente e sicuramente avrò fatto un errore di calcolo (spesso con la calcolatrice sogno i numeri

) comunque il linea di massima da come mi dici il procedimento è quello...e ciò mi rincuora :mrgreen:

Riguardo al mio dubbio, il professore mi ha detto che se mi ricavavo la v_c in quel modo dovevo tenere conto anche del forzamento (e su questo non discuto

) ma, quando mi ha detto come fare, sono iniziato ad andare nel pallone e non ci ho capito più nulla.... (purtroppo io le cose le devo metabolizzare e non riesco ad apprendere subito)

da **mapi** » 14 mar 2013, 19:35

Vibia hai provato a derivare la iL?
Se lo fai ti viene

$-\alpha_{1} C_{1}e^{-\alpha _{1}t}-\alpha_{2} C_{2}e^{-\alpha _{2}t}-200sen(100t-\pi /2)$

che è anche uguale a

$-\alpha_{1} C_{1}e^{-\alpha _{1}t}-\alpha_{2} C_{2}e^{-\alpha _{2}t}+200cos(100t)$

che comunque è formata da una parte "forzata" esattamente pari alla soluzione del tuo circuito a regime

Nota: gli esponenti li ho indicati con $\alpha _{1}$ e $\alpha _{2}$ , perché non so se ho sbagliato io o tu a calcolarli

Io penso sia questa la soluzione

Ciao O_/

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Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[1] Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[2] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

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