Analisi complessa: polo

[Candy]

Confido la mia massima ignoranza in materia. Poli e zeri turbano la mia esistenza da alcuni anni a questa parte. Da quando ho iniziato a frequentare certe persone più o meno virtuali, che ne fanno grando uso.
Confido che fino a ieri sera non me ne ero interessato molto, immaginandoli molto fuori dalla mia portata. Poi, invece, grazie ad un post, ho voluto cercare di capire un poco meglio e sono approdato su questo articolo di wkipedia.

Non che abbia compreso molto. Alcuni dei simboli usati nelle varie formule mi sono ignoti. Non ho capito nulla sulla serie di Laurent. Nel mio ignorante immaginario ho accomuntato il polo al concetto di asintoto. Sicuramente erroneamente, ma mi ha aiutato a focalizzare meglio il fenomeno. Più illuminante è stata la parte finale dell'articolo, dove per una funzione che mi è chiarissia, la funzione seno, comprendo la presenza di "poli" per il reciproco della medesima.

Alcune domande per farmi meditare un poco:
Perché nell'articolo citato i limiti tendono a "z0"? Cosa rappresenta?
Cosa differisce il polo dal concetto di asintoto?

[nollo]

Potrei provare a risponderti con quel po che ricordo di analisi matematica e analisi complessa...

Con si intende semplicemente un punto nel piano complesso (o piano di Gauss).
Nel caso specifico dell'articolo che hai citato, rappresenta proprio il "polo".

Il polo è "semplicemente" un punto quindi, già in questo, differisce dal concetto di asintoto.
In più occorre considerare che, se non ci muoviamo più nel campo dei numeri reali, il concetto di infinito cambia leggermente.
Il mio mitico prof. Codegone, mi aiutò cercando di rappresentare l'infinito complesso come il polo (diciamo nord) di una sfera: il piano complesso prende forma immaginando di par partire infinite rette da questo punto e proiettando le intersezioni delle rette e della sfera su un piano (il piano di Gauss, appunto).

Forse ti potrebbe essere utile ragionare in termini di poli e zeri, facendo riferimento al dominio della frequenza e non del tempo e provando a utilizzare gli strumenti proprio di questo tipo di analisi come i diagrammi di Bode e Nyquist.

Spero di esserti stato in qualche modo utile

[dimaios]

Poli e zeri turbano la mia esistenza da alcuni anni a questa parte. Da quando ho iniziato a frequentare certe persone più o meno virtuali, che ne fanno grando uso.

Candy, esiste una parte dell'analisi matematica che è molto legata al mondo dei controlli automatici e dell'elaborazione numerica dei segnali. Questa parte della matematica si chiama analisi funzionale in campo complesso.

Alle scuole superiori avrai sicuramente visto le funzioni di variabile reale che associano ad un numero reale un' altro numero reale con la relazione :


Avrai anche studiato che la funzione non è definita in generale per tutti i valori di ma ve ne sono alcuni che non permettono di definire la funzione in quanto il valore non esiste.

Es.


Non è definita per in quanto avresti la forma che è impossibile.

Facendo un passo in avanti ( non banale ) possiamo definire una funzione che ha come argomento un numero complesso e genera un numero complesso.



Con dove sono numeri reali ed è l'unità immaginaria che viene definita come .

Es.



Questa funzione se definita in campo reale sarebbe definita per ogni .

Infatti sempre.

In campo complesso non è vero. Infatti :
ha come soluzione


I punti dove il denominatore di una funzione complessa si annulla si chiamano poli della funzione. ( esistono i casi di cancellazione singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale che per ora tralasciamo per semplicità ).

Analogamente i punti dove si annulla il numeratore si dicono zeri della funzione complessa.

Es.



I cui poli sono rispettivamente :



Mentre gli zeri sono in



L'importanza di poli e zeri è fondamentale in quanto sono degli strumenti indispensabili per la caratterizzazione dei segnali e di alcune categorie di sistemi.

[MasterCud]

Aggiungerei inoltre che i poli di una funzione di trasferimento, assumono un'aspetto importante in termini di stabilità. Aspetto direi non banale e spesso non così semplice, anche perché un sistema complesso può essere caratterizzato anche da 10 poli (reali o complessi). E non sempre è possibile determinarli con certezza dal momento che non esistono formule per determinare le radici di un polinomio con ordine superiore al quinto. Fortunatamente nel caso della stabilità ci si accontenta di studiare il segno e poco importa della loro esatta posizione (che invece assume un aspetto importante in termini di progetto). In linea di principio un sistema è definito stabile quando esso presenta tutti poli a parte reale negativa, poi come per tutte le cose ovviamente esistono le eccezioni e i casi limite. Uno dei metodi più utilizzati in campo di analisi per valutare il segno dei poli è il "criterio di Routh", è un metodo algebrico che valuta le permanenze di segno e lo trovi implementato su qualsiasi programma di calcolo (Matlab, Scilab o simili).