ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **nand92** » 9 mag 2013, 23:13

PietroBaima ha scritto:Hmm, ok, voto meritato, ma vorrei una formula chiusa, non una serie...

grazie :)
ora ci penso!

da **fairyvilje** » 10 mag 2013, 3:28

E' tardi quindi non assicuro niente. Direi che un modo per semplificare il problema sia pensare in modo diverso alla differenza. Tipo...
210-10 = 200
3210-210= 3000
quindi i termini della prima successione sono facili da scrivere come differenze considerando n=1 il caso base 10: a(n+1)-a(n)=(n+1)*10^(n+1)
Allo stesso modo...
12-1 = 11
123- 12 = 111
1234-123=1111
...
Quindi b(n+1)-b(n)=... Come lo scrivo? Considero l'ulteriore sottrazione...
c(n)=b(n+2)-b(n+1)-b(n+1)+b(n)=10^(n+1)

Noi cerchiamo a(n)-b(n). provo ad ottenerla da
(n+1)*10^(n+1)-10^(n+1)=n^(n+1)

Per stanotte mi fermo qua. Mi scuso per latex ma il browser web del mio cellulare mi impedisce di selezionare del testo e premere un bottone senza perdere la selezione =_=. Domani torno a casa e potrò sistemare tutto da PC

da **sedetiam** » 10 mag 2013, 11:08

...visto che tutti sembrano voler mantenere un aplomb inglese (probabilmente per quel "trivial" nel titolo)...

sparo la mia :-)

:

$\frac{9n\left ( 10^{n}+1 \right )-11\left ( 10^{n}-1 \right )}{81}$

da **nand92** » 10 mag 2013, 11:17

sedetiam ha scritto:...visto che tutti sembrano voler mantenere un aplomb inglese (probabilmente per quel "trivial" nel titolo)...

sparo la mia :

$\frac{9n\left ( 10^{n}+1 \right )-11\left ( 10^{n}-1 \right )}{81}$

eccola :)
per curiosità, come la hai ottenuta?? ha dei limiti di validità?

da **PietroBaima** » 10 mag 2013, 12:17

sedetiam

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Complimenti!
>-O-<

$\O-<$

Adesso bisogna chiarire come l'hai ottenuta!

Ciao,
Pietro.

PS: Lo dicevo io che era trivial. :mrgreen:

da **sedetiam** » 10 mag 2013, 14:51

Grazie

PietroBaima e

nand92 !

allora, io l'ho vista così:

consideriamo, per esempio, n=3

e la sottrazione 210-012

, che possiamo rappresentare in questo modo:

$2\cdot 10^{2}+1\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0}-\left ( 0\cdot 10^{2}+1\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0 } \right )$

Generalizzando otterremo:

$\left ( n-1 \right )\cdot 10^{n-1}+\left ( n-2 \right )\cdot 10^{n-2}....0\cdot 10^{0}-\left ( 0\cdot 10^{n-1}....\left ( n-2 \right )\cdot 10^{1}+\left ( n-1 \right )\cdot 10^{0} \right )$

che equivale a:

$\sum_{k=0}^{n-1}k\cdot 10^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}\left ( n-1-k \right )10^{k}$

e raccogliendo:

$2\sum_{k=0}^{n-1}k\cdot 10^{k}-\left ( n-1 \right )\sum_{k=0}^{n-1}10^{k}$

le due somme finite sono note, vedi:

http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_delle_serie_matematiche#Serie_di_potenze

e con un po' di sostituzioni e semplificazioni si arriva al risultato.

Sono convinto però che ci sia un metodo più furbo ... e mi aspetto che il buon fisico ce lo sveli ... ;-)

da **PietroBaima** » 10 mag 2013, 15:11

sedetiam ha scritto:... e mi aspetto che il buon fisico ce lo sveli ...

sì,sì... magari tra un po'...

Lasciamo spazio a chi vuole cimentarsi ancora.

Per te rilancio, allora.
Se dovessi ricavare la somma di quelle serie finite, come faresti?

Ciao,
Pietro.

da **sedetiam** » 10 mag 2013, 20:45

Eccoci !

alura, per quanto riguarda la $\sum_{k=0}^{n}x^{k}$ faccio la furbata di moltiplicare sopra e sotto per (x-1)

, cioè :

$\sum_{k=0}^{n}x^{k}=1+x^{1}+x^{2}+...x^{n}=\frac{\left ( x-1 \right )}{\left ( x-1 \right )}\cdot \left ( 1+x^{1}+x^{2}+...x^{n} \right )=$
$= \frac{\left ( x+...+x^{n}+x^{n+1} \right )-\left ( 1+x+...+x^{n} \right )}{\left ( x-1 \right )}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$

invece per quanto riguarda la $\sum_{k=0}^{n}kx^{k}$ considero che:

$\sum_{k=0}^{n}kx^{k}=x\sum_{k=0}^{n}kx^{k-1}=x\cdot \frac{d}{dx}\left ( \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right )=$

$=x\cdot \frac{d}{dx}\left ( \frac{x^{n+1}-1}{x-1} \right) =x\cdot \frac{1-x^{n}}{\left ( x-1 \right )^2}+\frac{nx^{n+1}}{x-1}$

OT: ....che bei ricordi ... purtroppo la vita mi ha portato a fare tutt'altro, ma ricordo con affetto quando 25 anni fa ero alle prese con derivate, serie...etc... (e non "praticando", mi rendo conto che si fa tabula rasa velocemente) :cry:

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