ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **volpi** » 21 lug 2013, 11:57

Salve a tutti,

Mi potreste aiutare a dimostrare che $R_y(\tau) = h^\ast (-\tau )\ast h(\tau)\ast R_y(\tau)$ ?? (supponendo che i segnali siano a potenza finita...)

Io ho iniziato a ragionare nel seguente modo: avendo il segnale x(t)

, $y(t) = x(t) \ast h(t)$ , dove h(t) è la risposta impulsiva, inoltre so che $R_y(\tau) = \left \langle y(t)y^\ast (t-\tau) \right \rangle$
dove $\left \langle ... \right \rangle$ indica il valor medio temporale... e $\ast$ indica la convoluzione... e lo stesso simbolo alla potenza indica il coniugato
Adesso sostituisco la y(t) nell' ultima relazione e dopo un po di passaggi che evito di pubblicare altrimenti ci metterei un secolo in latex, ottengo:

$\int_{-\propto }^{\propto } h^\ast(-z)(h(\tau-z)\ast R_x(\tau-z))dz$

da qui come si procede per ottenere $R_y(\tau) = h^\ast (-\tau)\ast h(\tau)\ast R_x(\tau)$ ??? (non riesco ad arrivarci...)

spero si capisca ciò che ho scritto... e grazie a chiunque mi aiuti O_/

da **lionell88** » 21 lug 2013, 13:44

Io sapevo che
$R_y(\tau) = h (-\tau)\ast h(\tau)\ast R_x(\tau)$

non mi ricordo che ci fosse h asteriscato ...

da **volpi** » 21 lug 2013, 13:57

Boh, io nei miei appunti ho quella definizione lì...

da **lionell88** » 21 lug 2013, 15:22

Vabbè... provo a risponderti per quel che so io. Poi magari fai una ricerca e vedi se la formula finale e quella che dico io o meno...

Te la faccio dall'inizio...
Allora, dobbiamo trovare la autocorrelazione R_y(t_1,t_2)

del processo stocastico in uscita, sapendo che il processo in ingresso x(t) è WSS e h(t) è la fdt di un sistema SLI (lineare tempo invariante)

Sappiamo che y(t) = x(t)*h(t)

;

$R_y(t_1,t_2) =E[y(t)y(t-\tau)] = E[(x(t)\star h(t))(x(t-\tau)\star h(t-\tau))]=$

$E \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}h(s)x(t-s)\, ds \int_{-\infty}^{+\infty}h(r)x(t- \tau -r)\, dr \right]$

Ricordando che la media è un operatore lineare e che h(s) e h(r) possono stare fuori dalla media, essendo funzioni ben definite (non processi stocastici), l'espressione precedente diventa

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(s)h(r) E \left[ x(t-s)x(t -\tau - r) \right] \,dsdr =$
$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}h(s)h(r)C_x(\tau + r - s) \, dsdr$

dove C_x

è l'autocorrelazione e, dato che x(t) è WSS (stazionario in senso lato), essa dipende solo dalla differenza dei tempi, cioè $t-s- (t- \tau - r)$

Abbiamo, dunque,

$\int_{-\infty}^{+\infty} h(r) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} h(s)C_x( \tau +r -s) \,ds \right) \,dr =$
$= \int_{-\infty}^{+\infty}h(r) \left[h(\tau + r) \star C_x(\tau + r) \right] \,dr$

Ora, scriviamo $g(\tau + r) = h(\tau + r)\star C_x(\tau +r)$
quindi possiamo anche affermare che 1) $g(\tau) = h(\tau)\star C_x(\tau)$

Perciò l'integrale di prima diventa
$\int_{-\infty}^{+\infty} h(r)g(\tau +r)\,dr = h(-\tau)\star g(\tau)$

che, per la 1), diventa

$h(-\tau)\star h(\tau)\star C_x(\tau)$

EDIT:
Ti aggiungo che, la trasformata di Fourier dell' autocorrelazione ottenuta è
H(-f)H(f)S_x(f)

, dove

è la densità spettrale di potenza del segnale in ingresso.
Dato che h(t) è reale, H(-f) = H^*(f)

ed il loro prodotto dà |H(f)|

Perciò

da **Gost91** » 21 lug 2013, 16:59

Anche io dispongo di una dimostrazione la quale arriva a concludere che

$R_y (\tau)=R_x(\tau)*h(\tau)*h^{*}(-\tau)$

Probabilmente

lionell88 ha supposto che il processo in ingresso fosse reale e che il sistema che elabora tale processo fosse fisicamente realizzabile.

Comunque posto la dimostrazione di cui dispongo in modo da dare una giustificazione alla precedente (fantomatica?) espressione.

Ipotesi:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

1. Il sistema in esame è LTI, caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t)

2.

è un processo aleatorio stazionario in senso lato

Tesi:

L'uscita y(t)

è un processo aleatorio stazionario in senso lato.

Corollario:

I processi x(t)

e

sono congiuntamente stazionari in senso lato.

Prova:

Dobbiamo far vedere che il processo in uscita y(t)

è stazionario in senso lato, quindi, in base alla definizione, bisogna dimostrare le due seguenti relazioni

$\begin{cases} \left \langle y(t) \rangle \right=\text{costante} & (1) \\ R_y(t_1,t_2)=R_y (t_1-t_2)=R_y (\tau) & (2) \end{cases}$

suddividiamo dunque la dimostrazione in due parti distinte.

Relazione (1)

Siccome y(t)=h(t)*x(t)

, si ha che

$\left \langle y(t) \rangle \right=\left \langle x(t)*h(t) \rangle \right=\Big \langle \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-\alpha)h(\alpha) \, \text{d}\alpha \Big \rangle$

data la linearità degli operatori valor medio e integrale possiamo scrivere

$\left \langle y(t) \rangle \right=\int_{-\infty}^{+\infty} \langle x(t-\alpha)h(\alpha)\rangle \, \text{d}\alpha$

essendo h(t)

un termine deterministico, si ha che nel precedente prodotto $x(t-\alpha)h(\alpha)$ l'operatore valor medio agisce solamente sul processo $x(t-\alpha)$ . Possiamo dunque scrivere

$\left \langle y(t) \rangle \right=\int_{-\infty}^{+\infty} \langle x(t-\alpha) \rangle h(\alpha) \, \text{d}\alpha$

ricordando che la media del processo x(t)

è una costante (per la sua stazionarietà), abbiamo

$\left \langle y(t) \rangle \right= \langle x(t) \rangle\int_{-\infty}^{+\infty} h(\alpha) \, \text{d}\alpha= \langle x(t) \rangle H(0)=\text{costante}$

dove

è la trasformata secondo Fourier di

.

Relazione (2)

Per il momento concentriamoci un attimo su $R_{yx}$ . Per definizione si ha che

$R_{yx}(t_1, t_2)= \langle y(t_1) x^{*} (t_2) \rangle= \Big \langle \int_{-\infty}^{+\infty} x(t_1-\alpha) h(\alpha) \, \text{d}\alpha \, x^{*} (t_2) \Big \rangle$

ovvero

$R_{yx}(t_1, t_2)=\int_{-\infty}^{+\infty} \langle x(t_1-\alpha) x^{*} (t_2) \rangle h(\alpha) \, \text{d}\alpha=\int_{-\infty}^{+\infty} R_x(t_1-\alpha,t_2) h(\alpha) \, \text{d}\alpha$

che può essere riscritta come

$R_{yx}(t_1, t_2)=\int_{-\infty}^{+\infty} R_x(t_1-\alpha,t_1-\tau) h(\alpha) \, \text{d}\alpha$

ora, per la stazionarietà di x(t)

, si ha che R_x (t_1, t_2)=R_x(t_1-t_2)

, per cui si conclude che

$R_{yx}(t_1, t_2)=\int_{-\infty}^{+\infty} R_x(\tau-\alpha) h(\alpha) \, \text{d}\alpha=R_x(\tau)*h(\tau) \qquad \qquad(3)$

quindi la crosscorrelazione tra ingresso e uscita dipende solamente dalla differenza temporale $\tau$

$R_{yx}(t_1, t_2)=R_{yx}(t_1-t_2)=R_{yx}(\tau)$

In base a quest'ultima considerazione notevole possiamo procedere e concludere la dimostrazione.
Sempre per definizione si ha che

$R_y (t_1, t_2)= \langle y(t_1) y^{*} (t_2) \rangle=\langle y(\tau+t_2) y^{*} (t_2) \rangle$

che può essere riscritta come

$R_y (t_1, t_2)=\Big \langle y(\tau+t_2) \Big ( \int_{-\infty}^{+\infty} x(t_2-\alpha) h(\alpha) \, \text{d}\alpha \Big )^{*} \Big \rangle=\Big \langle \int_{-\infty}^{+\infty} y(\tau+t_2) x^{*} (t_2-\alpha) h^{*}(\alpha) \, \text{d}\alpha \Big \rangle$

il valor medio, analogamente a quanto successo prima, agisce solamente sui processi

$R_y (t_1, t_2)= \int_{-\infty}^{+\infty} \langle y(\tau+t_2) x^{*} (t_2-\alpha) \rangle h^{*}(\alpha) \, \text{d}\alpha$

osserviamo adesso che

$\langle y(\tau+t_2) x^{*} (t_2-\alpha) \rangle = R_{yx} (\tau+t_2, t_2-\alpha)= R_{yx} (\tau+\alpha)$

quindi

$R_y (t_1, t_2)= \int_{-\infty}^{+\infty} R_{yx} (\tau+\alpha) h^{*}(\alpha) \, \text{d}\alpha=R_{yx}(\tau)*h^{*}(-\tau) \qquad \qquad (4)$

siamo arrivati a concludere che anche R_y

dipende solamente da $\tau$ , dunque la relazione (2) è stata dimostrata.

Combinando la (3) e la (4) si trova che

$R_y (\tau)=R_x(\tau)*h(\tau)*h^{*}(-\tau)$

Essendo entrambi i processi stazionari in in senso lato e aventi crosscorellazione dipendente solo dal termine $\tau$ si ha anche che sono congiuntamente stazionari in senso lato.

da **volpi** » 21 lug 2013, 17:08

Grazie mille a tutti e due!!! cavolo mi mancava davvero poco per arrivare alla soluzione O_/

Comunque si intendevo che in ingresso ci fosse un segnale qualsiasi reale o non reale che sia...

da **lionell88** » 21 lug 2013, 17:45

Mmm nella definizione di processo WSS si parla di correlazione, non di cross-correlazione... Basterebbe soltanto, per il secondo punto, dimostrare che l'autocorrelazione del processo in uscita dipenda dalla differenza dei tempi.

Poi, questa formula?

Gost91 ha scritto: $R_y (t_1, t_2)= \langle y(t_1) y^{*} (t_2) \rangle$

non dovrebbe essere semplicemente
$R_y (t_1, t_2)= \langle y(t_1) y(t_2) \rangle$ ?? Ho provato a cercare anche in rete...

Per $y^{*} (t_2)$ intendi il complesso e coniugato, giusto?

da **Gost91** » 21 lug 2013, 18:57

lionell88 ha scritto:Mmm nella definizione di processo WSS si parla di correlazione, non di cross-correlazione...

La definizione di processo aleatorio (o equivalentemente stocastico) stazionario in senso lato (o equivalentemente WSS) ne stabilisce che tipo di oggetto matematico è.
Quella di cui dispongo è la seguente:

Prof. Gherardelli ha scritto:Un processo x(t) reale si dice stazionario in senso lato (o anche "debolmente stazionario") se relativamente ad esso si ha:
$\text{E}\{x(t)\}=\text{costante}$ (rispetto a t)
$R_x(t_1, t_2)=R_x(t_1+\Delta t, t_2+\Delta t)=R_x (t_1-t_2)=R_x(\tau) \qquad \qquad \tau \triangleq t_1-t_2$

(con "E" si indica l'operatore valor medio)

Non so che definizione ti sia stata data ma a quanto mi risulta la definizione di processo WSS è indipendente da quella di crosscorrelazione (e a maggior ragione quello di correlazione, dato che è utilizzata prettamente in statistica).

lionell88 ha scritto:...Basterebbe soltanto, per il secondo punto, dimostrare che l'autocorrelazione del processo in uscita dipenda dalla differenza dei tempi...

E' quello che ho (unicamente) fatto

lionell88 ha scritto:...Poi questa formula? ...

E' l'autocorrelazione per un processo aleatorio, discende dalla definizione di crosscorrelazione che mi è stata data

Prof. Gherardelli ha scritto:Assegnati due processi, in generale complessi, si definisce crosscorrelazione dei due processi x(t), y(t) la funzione:
$R_{xy} (t_1, t_2) \triangleq \text{E}\{x(t_1) y^{*}(t_2)\}$

lionell88 ha scritto:...non dovrebbe essere semplicemente $R_y (t_1, t_2)=\langle y(t_1) y(t_2)\rangle$ ??...

Solo se il processo y(t)

è reale.

lionell88 ha scritto:...Per $y^{*} (t_2)$ intendi il complesso e coniugato, giusto?

volpi ha scritto: $\langle ... \rangle$ indica il valor medio temporale... e indica la convoluzione... e lo stesso simbolo alla potenza indica il coniugato

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