Alcune domande sugli integrali

[Ianero]

Ciao a tutti,
mi sto avvicinando allo studio degli integrali e ci sono alcuni concetti che vorrei chiarire.

1) L'integrazione è l'operazione inversa della derivata, e si divide in integrale definito (con la presenza degli estremi di integrazione) e indefinito (che da come risultato non un numero reale, ma un insieme di funzioni che si chiamano primitive della funzione integranda). Giusto?

2) Per svolgere un integrale definito da a a b di , occorre calcolare prima la primitiva e successivamente effettuare la differenza delle immagini di in b e in a. Questa è una mia deduzione in quanto il mio libro non riporta alcun metodo di calcolo di integrali definiti, è errata?

3) Cosa vuol dire dopo il simbolo dell'integrale? A che scopo si specifica?

4) Una domanda meno teorica che si riferisce ad un esempio trovato nel testo:

L'ultima uguaglianza non ho capito da dove viene..

5) Mi viene inoltre detto che nel caso in cui occorra integrare un rapporto tra due funzioni, quando , bisogna prima scomporre in fratti semplici. perché?

Scusate se sono domande stupide ma non ho nessuno che mi dia una mano se non il libro..
Grazie a chi mi aiuterà.

[RenzoDF]

1) ok

2) ok

3) dx rappresenta il differenziale di x e indica sostanzialmente rispetto a quale variabile intediamo integrare
vedi http://www.dm.unibo.it/~achilles/rimini ... nziale.pdf

4) basta porre



per poter scrivere



e quindi



che è una metodologia che può essere utilmente applicata quando siamo in presenza di un integrale del tipo



5) il testo si riferisce al rapporto polinomiale nel quale è conveniente ridurre il rapporto a somma di fratti semplici per poi poter più facilmente integrare le parti, vedi per es.
http://digilander.libero.it/zinabianca/ ... ratte.html

BTW ... e per un paio di documenti sulla storia del calcolo differenziale vedi per es.
viewtopic.php?f=7&t=19142&start=10#p140517

[tecfil]

Ciao!

1) L'integrale definito è un integrale in cui hai anche gli estremi di integrazione, ad esempio quando vai a calcolare un'area in quel caso utilizzi un integrale definito. Ricordati che gli integrali definiti godono di una serie di proprietà utili sopratutto negli esercizi.
L’integrale definito è un valore numerico mentre l’integrale indefinito è un insieme di funzioni.

2) Esatto, prima svolgi l'integrale della tua e poi fai dove b corrisponde all'estremo superiore mentre a all'estremo inferiore

3) significa che stai integrando rispetto alla variabile . Quando studierai gli integrali doppi o tripli allora vedrai che è molto importante specificare se stai integrando rispetto ad x oppure rispetto ad un'altra variabile. In analisi 1 di solito integri sempre in x, però quando fai le sostituzioni devi specificare che stai integrando rispetto all'altra variabile.

4) già fatto

5) Non ho capito bene cosa intendi. Se il numeratore ha grado minore del numeratore allora dovrai utilizzare delle regole apposite, ad esempio

Ciaoo!

[Ianero]

Grazie ad entrambi :)
Inizio a fare domande relative al differenziale, poi passo anche al punto 4 e 5 che per ora accantono un secondo per procedere passo-passo.

Mi sembra di aver capito che il differenziale di una funzione è l'incremento della variabile dipendente in corrispondenza all'incremento della variabile indipendente.
Il primo si chiama dy e il secondo dx, giusto?
Quindi se ho capito bene posso dire che quando sto parlando della derivata di , dico bene?
E sempre se il ragionamento che sto facendo è corretto posso scrivere questo:


Che mi porterebbe anche a dimostrare che:


...ma questa relazione vale quindi solo quando il differenziale di x è infinitesimamente piccolo? Non sempre?

PS: Leggendo il significato geometrico mi rendo conto che questo:

differenziale.jpg (10.64 KiB) Osservato 8126 volte

non è compatibile con ciò che scritto sopra: , perché se fosse così, dy sarebbe uguale al segmento QM, e non TM. Non ci sto capendo molto..

[asamarco]

1) Fosse per me potresti definire l'integrale anche così, ma per un matematico l'integrale è l'area sottesa al grafico di una funzione e solo successivamente si verifica coincidere con l'operazione inversa alla derivazione nelle ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale.

4) è un metodo generalmente applicabile quando puoi separare nell'integrale una funzione e la sua derivata prima.

[fairyvilje]

1) Fosse per me potresti definire l'integrale anche così, ma per un matematico l'integrale è l'area sottesa al grafico di una funzione e solo successivamente si verifica coincidere con l'operazione inversa alla derivazione nelle ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Mi sembra un po' limitata come cosa dato che l'intuizione geometrica non vale così automaticamente per le sue generalizzazioni.

[Ianero]

Dunque dopo un paio d'ore di ricerca in internet e letture di vari pdf, credo di esserci finalmente arrivato.. Credo.
Il concetto di differenziale si utilizza quando si vuole approssimare la funzione in esame, ad una funzione lineare, e valutarne il comportamento a seguito di un incremento della variabile indipendente.
Infatti sapendo che la derivata di in mi permette di approssimare l'incremento della funzione in corrispondenza di un incremento della variabile indipendente a partire da , ho praticamente linearizzato la mia funzione con una approssimazione, una sorta di errore.
L'incremento preciso sarà dato da:


mentre l'incremento linearizzato sarà invece dato approssimativamente da:


Quindi:


Quella uguaglianza non è più approssimata quando l'incremento della variabile indipendente tende a 0:


Quando , si usa scriverlo nella forma , ovvero come incremento infinitesimamente piccolo, da cui...


Geometricamente posso affermare che:

grafico dx.jpg (13.35 KiB) Osservato 8101 volte

QH = incremento esatto
Q'H = incremento linearizzato/approssimato
QQ' = errore/approssimazione

Ditemi che ho capito!

[tecfil]

Ciao!

Dai miei appunti di analisi 1 ritrovo che f' denota la derivata di f rispetto a x, cioè il limite del rapporto incrementale, , quando è infinitamente piccolo.

Per l'interpretazione geometrica invece il segmento TM rappresenta il differenziale della funzione in x, quindi quando la tua variabile indipendente passa da x ad x+ allora la funzione ha un incremento uguale alla lunghezza del segmento MQ.

Allora in conclusione considerando l'incremento rispetto alla retta tangente in P, abbiamo che tale incremento equivale a TM, e quindi possiamo dire che è il differenziale della funzione in x.

Dal triangolo PTM, hai che

PS: se può esserti utile prova a guardare le due paginette che ti ho allegato.

Ciao

[carloc]

...ma per un matematico l'integrale è l'area sottesa al grafico di una funzione ....

Ma non so se era strano il mio professore o le cose sono cambiate negli "ultimi tempi" ma ai miei tempi se sfortunatamente ti scappava la parola "area" in una frase che conteneva anche la parola "integrale" rischiavi almeno almeno le dita della mano destra

Che poi tutti noi "pensiamo" agli integrali pensando "all'area sotto il grafico" è pacifico e condiviso, solo non si può dire

L'integrale è -se esiste- il limite comune delle somma superiore e di quella inferiore ottenute partizionando l'intervallo in un numero sempre crescente di "pezzettini" e prendendo inf(f(x)) o sup(f(x)) etc. etc...

Poi, dopo essere finalmente riusciti a lobotomizzarti l'area che associava integrale ed area, arriva Lebesgue .... ma questa è tutta un'altra storia .

[tecfil]

...ma per un matematico l'integrale è l'area sottesa al grafico di una funzione ....

Ma non so se era strano il mio professore o le cose sono cambiate negli "ultimi tempi" ma ai miei tempi se sfortunatamente ti scappava la parola "area" in una frase che conteneva anche la parola "integrale" rischiavi almeno almeno le dita della mano destra

Posso assicurare che è ancora così