Numero radici reali di un sistema

[ellosma]

Quindi , ci sono 5 permanenze e una variazione. Il numero di variazioni corrisponde a . Poiché 5 comprende sia le soluzioni immaginarie che reali ( minori di zero) allora possiamo dire che . Ora , e scusate se la sparo grossa, e' giusto dire che corrisponde al numero di righe composte totalmente da zero presenti nella tabella di routh ?

[RenzoDF]

Premesso che sono più che arruginito sull'argomento, direi che analizzando il problema via Routh:

a) visto che il polinomio è di settimo grado, per il teorema fondamentale dell'algebra, avrà 7 radici

b) visto che già la riga 5 è composta da elementi tutti nulli, possiamo dire che siamo in presenza di 6 radici a due a due simmetriche rispetto all'origine

c) vista la permanenza di segno fra le righe 7 e 6, quanto rilevato in b) implica la presenza di una addizionale singola radice a parte reale negativa puramente reale, oltre alle suddette 6

d) delle sei radici rimanenti, visto che al completamento della tabella abbiamo una sola variazione di segno, avremo un'unica radice a parte reale positiva, che implicherà una corrispondente simmetrica a parte reale negativa

e) essendo detta radice singola, non potrà però essere che puramente reale, così come la sua simmetrica rispetto all'origine

f) abbiamo quindi che le rimanenti 7-1-2=4 non possono che essere puramente immaginarie

Riassumendo
1 puramente reale e positiva
2 puramente reali e negative
4 puramente immaginarie a 2 a 2 coniugate

NB ... e, a dire il vero, se si fosse trattato solo di stabilità, in questo caso, non era proprio necessario andare a scomodare Routh.