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da **carlomariamanenti** » 31 ago 2013, 11:13

Voi tutti conoscete i numeri di Fibonacci, si proprio lui, Leonardo Pisano detto Leonardo Fibonacci perché filius del Bonacci).

I numeri della sua sequenza sono quelli per cui

$F_{0}=F_{1}=$ 1
e
$F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$

Quindi primi numeri della sua sequenza sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

...

Sapreste indicare quanto vale la somma

$S(n) := F_{0}F_{1} + F_{1}F_{2} + F_{2}F_{3} + F_{3}F_{4} +$ ... $+ F_{n-1}F_{n} + F_{n}F_{n+1$

al variare di

?

da **asamarco** » 31 ago 2013, 15:22

Ho riarrangiato la somma in questo modo ma per il resto penso di essere fuori strada
$S(n-1)=\sum _{j=0}^{n}{F_j^2} (n-j)=F_0^2n+F_1^2(n-1)+F_2^2(n-2)+...$

da **carlomariamanenti** » 31 ago 2013, 15:31

Ciao

asamarco, un aiutino: ci sono due formule leggermente differenti tra loro a seconda se

è pari o dispari; calcola qualche termine e poi usa l'induzione ...

da **asamarco** » 31 ago 2013, 15:37

Grazie per il suggerimento, ho sempre avuto dei problemi a dimostrare per induzione più tardi ci proverò.

da **Ianero** » 31 ago 2013, 16:03

Io invece ho riarrangiato così:

$S(n)=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}a_j^2$

..ma non trovo strade per continuare, ora ci sbatto la testa un altro po'..

da **claudiocedrone** » 31 ago 2013, 18:23

carlomariamanenti ha scritto: ...primi numeri della sua sequenza sono: ...

Scusa

carlomariamanenti, ma il primo numero della serie di Fibonacci non è "0" ?
o lo "0" non è un numero :?:

da **Ianero** » 31 ago 2013, 19:20

claudiocedrone ha scritto:ma il primo numero della serie di Fibonacci non è "0" ?

http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci :-)

Curiosità: la serie di Fibonacci per n che tende all'infinito ha una proprietà molto particolare..

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{F_n}{F_{n-1}}=\phi$

Dove $\phi$ è il numero irrazionale aureo:

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618033 9887498 9484820 4586834$

http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

..e mi sono accorto solo ora che era implicitamente specificato nel titolo :mrgreen:

da **claudiocedrone** » 31 ago 2013, 23:37

Mea culpa, ho sempre erroneamente saputo (o creduto) che la serie di Fibonacci fosse
0 1 1 2 3 5 8 13 etc. ... comunque si, nel titolo c,è già il numero di Fidia indicato dalla sua iniziale in greco :mrgreen:

, non ci avevo nemmeno fatto caso... ho il sospetto che c'entri qualcosa con la soluzione (o forse è un depistaggio :mrgreen:

).

da **Ianero** » 2 set 2013, 19:10

carlomariamanenti io sono curioso però :mrgreen:

da **sedetiam** » 3 set 2013, 15:12

Occhio che c'è un errore in [1].
La successione di Fibonacci è così definita:

F(0)=0
F(1)=1
F(2)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)

...a questo punto direi che la soluzione è a portata di mano ... ;-)

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Φ = 1,6180339887498 and more

[1] Φ = 1,6180339887498 and more

[2] Re: ? = 1,6180339887498 and more

[3] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[4] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[5] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[6] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[7] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[8] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[9] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

[10] Re: Φ = 1,6180339887498 and more

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