Luogo delle radici

[ellosma]

Dato il luogo della radici della funzione di trasferimento

, devo tracciare ilgrafico del luogo delle radici. ho determinato zeri (nessuno), poli (-1,-5 , entrambi con molteplicità 3) , numero totale di asintoti (6),angoli degli asintoti (30 , -30 , 90 , -90,150 , -150), centro asintoti (-3),radici doppi(s=-3). ora, so che il centro del grafico è in -3 sull'asse reale , che avrò 3 rami che partiranno dal polo -1 e 3 che partiranno dal polo -5 e che la somma dei rami totali sarà 6. in pratica ho trovato quasi tutto ciò che mi serve per tracciare il grafico ma non riesco a capire come tracciarlo "praticamente". qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a capire come fare? non tanto per questo esercizio, ma vorrei riuscire a comprendere questo tipo di tracciamento anche in casi diversi da questo.. grazie mille in anticipo!

[IsidoroKZ]

Ti serve ancora sapere quali parti dell'asse reale fanno parte del luogo delle radici. Se k>0 fanno parte del luogo i tratti di asse reale che hanno alla loro destra un numero dispari di singolarita` reali. Il tratto di asse fra -1 e -5 fa parte del luogo.

Quindi dai due poli tripli partono due rami lungo l'asse reale rami che vanno uno verso l'altro (da -1 verso sinistra e da -5 verso destra). Quando i due poli si scontrano (in -3, come hai calcolato) escono verticalmente dall'asse reale. Gli altri due poli di ciascun gruppo escono dall'ammucchiata con direzioni iniziali +120 gradi e -120 gradi e poi proseguono avvicinandosi agli asintoti che hai calcolato.

Per verificare che sia giusto puoi usare il programma RootLocs piccolo, non invadente e spettacolare :)

Questo e` il luogo della tua funzione

Root Locus Image.png (8.78 KiB) Osservato 4415 volte

[ellosma]

Quindi dai due poli tripli partono due rami lungo l'asse reale rami che vanno uno verso l'altro (da -1 verso sinistra e da -5 verso destra). Quando i due poli si scontrano (in -3, come hai calcolato) escono verticalmente dall'asse reale. Gli altri due poli di ciascun gruppo escono dall'ammucchiata con direzioni iniziali +120 gradi e -120 gradi e poi proseguono avvicinandosi agli asintoti che hai calcolato.

E' proprio questa parte che non ho capito. Da cosa si deduce che da -1 parte un ramo che va verso sinistra e da -5 che parte il ramo che va verso destra??

[IsidoroKZ]

Devi valutare quali parti dell'asse reale fanno parte del luogo delle radici. Non hai una regola che dice che i tratti di asse reale che hanno alla loro destra un numero dispari di singolarita` reali (sia poli che zeri) fanno parte del luogo?

[ellosma]

Sinceramente sapevo della esistenza di questa regola ma non sono mai riuscita a capirla... comunque adesso mi metto a cercare esempi online!