Invertibilità Matrici

[Ianero]

Prendendo spunto da ciò che aveva proposto RenzoDF riguardo i corsi del MIT online, sono stato subito attratto da quello del professor Gilbert Strang di Algebra Lineare, ed ho iniziato a guardarlo.
Mentre stava trattando l'invertibilità delle matrici, scrive alla lavagna:



dove A è una matrice generica e 'x' un vettore.

Mi chiedevo, il prodotto di una matrice per un vettore, non da come output un'altra matrice? Posso eguagliare il tutto ad uno scalare?
Qui parlavamo proprio di stare attenti alla natura degli elementi nelle equazioni: viewtopic.php?f=7&t=46436&start=10#p427526

[sebago]

il prodotto di una matrice per un vettore, non da come output un'altra matrice?

Rovistando nelle memorie della preistoria, direi di no: dà un vettore le cui componenti sono data dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga della matrice per i corrispondenti elementi di riga del vettore; affinche il prodotto sia eseguibile è necessario naturalmente che il numero di colonne della matrice sia uguale al numero delle righe del vettore. Per esempio:


P.S.: adesso magari interviene RenzoDF e mi dice che non ho capito una mazza...non lo escludo a priori...

[Ianero]

Un vettore è solo una matrice che ha una sola colonna o una sola riga..
Quindi stiamo dicendo le stesse cose, in ogni caso non parliamo di scalari.

[gotthard]

Infatti, nell' equazione , si ha che:

- è una matrice;
- è un vettore colonna;
- è un vettore colonna formato da soli elementi "0".

[sebago]

Quindi stiamo dicendo le stesse cose

OK, però le definizioni in matematica (e non solo) hanno un peso importante ed evitano di ricorrere a precisazioni prolisse. Se dico "vettore" non ho bisogno di far finta che sia una matrice con un sola colonna o una sola riga. Mi pare più semplice. Ma forse sono un po'....anziano.

[Ianero]

- è un vettore colonna formato da soli elementi "0".

Ora si, perfetto

sebago, scusami, non ho ben capito cosa vuoi dirmi, ti riferisci al fatto che è impreciso dire matrice con una colonna, anziché vettore colonna? :)

[DirtyDeeds]

Quando si parla di spazi vettoriali, di matrici ecc. bisogna ricordarsi che esistono tanti zeri diversi. Sarebbe opportuno distinguerli notazionalmente, ma non sempre lo si fa o lo si può fare.

Prendiamo uno spazio vettoriale generico: si possono indicare con carattere normale gli scalari e con grassetto i vettori. Quindi potrei scrivere:



L'operazione sopra diventa allora più chiara rispetto alla stessa scritta come . Il primo zero, non grassettato, è lo zero del campo degli scalari, mentre il secondo è lo zero dello spazio vettoriale in cui vive .

Analogamente per le matrici: se c'è rischio di confusione la matrice nulla può essere denotata con o con .

Teniamo poi presente che anche le matrici possono essere viste come vettori: l'insieme delle matrici può essere dotato di struttura di spazio vettoriale con le operazioni di somma matriciale e moltiplicazione per uno scalare. La matrice nulla, allora, può essere considerata come lo zero di questo spazio vettoriale.

Quando si parla di matrici o , per evitare rischi di confusione, sarebbe meglio non chiamarle solo vettori, meglio dire vettori colonna o vettori riga.

[Ianero]

Ottimo, molto più chiaro, grazie DirtyDeeds

[Gost91]

Sempre per rimanere in tema di open course, in multivariable calculus (non mi ricordo di preciso in che lezione, credo tra le prime riguardanti i richiami) il professor Auroux illustra un metodo un po' più grafico per computare il prodotto tra due matrici, per cui vorrei aggiungere giusto altre due parole.

La regolina righe per colonne è molto mnemonica, però magari al mondo c'è chi, come me, ama molto fare i cosiddetti disegnini, per cui credo sia costruttivo presentare tale metodo (anche perché è molto semplice sia da capire che da applicare ed è al tempo stesso in grado di dare risposta alla domanda principale presentata).

In un ipotetico prodotto tra matrici , si tratta di riscrivere in una posizione "rialzata" la matrice , in modo da far comparire un quadrato al di sopra di e a destra di .

Una volta predisposte le matrici, si procede con il calcolo della matrice risultante, applicando il prodotto righe per colonne. Tale matrice comparirà a destra della matrice e al di sotto della matrice .



Esempio - Calcolare





per prima cosa costruiamo il nostro schema:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

poi procediamo con i prodotti riga per colonna (sempre sperando di aver fatto errori sui conti):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dunque:




Quali sono i vantaggi di questo medoto?

1. Verifica immediata della conformabiltà: se l'area verde (in riferimento agli schemi dell'esempio) non è un quadrato il prodotto tra le due matrici non si può valutare.

2. Chiarezza dei prodotti: schematizzando con le frecce (in azzurro negli schemi dell'esempio) si evitano possibili errori di calcolo (soprattutto se si è molto distratti come il sottoscritto).

3. Verifica immediata della dimensione della matrice di uscita: si vede immediatamente a occhio la dimensione della matrice . Rispettando sempre la regola del quadrato verde, si può risalire ai casi in cui la matrice di uscita è uno scalare, un vettore colonna o un vettore riga semplicemente imponendone la dimensione, dunque:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

[Ianero]

Gost91 grazie mille, interessantissimo