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da **ellosma** » 13 set 2013, 13:00

Avendo la funzione $\frac{100(1-s)^{s}}{s(s+2)^{3}}$ devo calcolare il diagramma di nyquist. Ho calcolato modulo , $\frac{100(1- \omega)^{2}}{\omega^{2}(4+\omega^{2})^{\frac{3}{2}}}$ e la fase $-2\arctan(-\omega) -3\arctan \left (\frac{\omega}{2} \right )$ . Il problema e' che i limite che tende a infinito della fase e' zero e quello che tende a 0 non esiste. Il limite del modulo che tende a 0, 0, e quello che tende a infinito e' - pigreco mezzi. Quindi se il limite di omega che tende a zero e' uguale all'origine del grafico questo non dovrebbe esserci ?! Non riesco a capire dove ho sbagliato perché anche le rotazioni mi vengono di un quarto di giro.. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi quale aberrazione matematica ho commesso per avere risultati del genere ? Grazie mille

da **asamarco** » 14 set 2013, 10:35

due correzioni Il limite del modulo esiste ed è +infinito, nella fase inoltre hai dimenticato il contributo del polo in zero ovvero -90°

Non capisco benissimo il dubbio, magari partendo dal grafico disegnato riesci a chiarirti le idee da sola, se no chiarisci bene cosa non ti torna.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ny ... %29%5E3%29

EDIT: la fase ha un altro errore $\phi= - \pi/2 - 2 \arctan (\omega) -3 \arctan (\frac{\omega}{2})$

da **ellosma** » 15 set 2013, 17:46

I miei dubbi sono proprio sui limiti.. Il limite della fase che tende a infinito mi viene 0 , e dovrebbe essere corretto. Il limite della fase che tende a zero invece mi viene 100/0 che sarebbe indeterminato, invece il mio libro pone 100/0 come uguale a infinito. I limito riguardanti al modulo invece sono un mistero in quanto , per il limite che tende a 0, ottengo $-2*arctg(\frac{0}{0})$ che dovpprebbe risultare indeterminato invece il mio libro, pur arrivando alle mie stesse conclusioni, lo pone uguale a pigreco mezzi. Il limite del modulo che tende a infinito il libro lo ottime come, dopo aver corretto in base a quanto mi hai detto :)

da **ellosma** » 15 set 2013, 18:00

Non mi è chiaro insomma il motivo per cui 100/0 diventa infinito e nemmeno perché $-arctg [\frac{\omega}{0}]$ e' a priori uguale a pigreco mezzi, se il limite tende a infinito sono d'accordo ma se il limite tende a zero, prima di risolvere l'arco tangente io ho 0/0 che è indeterminato , e l'arco tangente di indeterminato come da a risultare - pigreco mezzi?!?! Grazie ancora!

da **DirtyDeeds** » 15 set 2013, 21:57

ellosma ha scritto:Avendo la funzione $\frac{100(1-s)^{2}}{s(s+2)^{3}}$ devo calcolare il diagramma di nyquist. Ho calcolato modulo , $\frac{100(1- \omega)^{2}}{\omega^{2}(4+\omega^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Già il modulo è sbagliato... Fai la sostituzione $s\mapsto \text{j}\omega$ e ottieni

$H(\text{j}\omega) = \frac{100(1-\text{j}\omega)^{2}}{\text{j}\omega(\text{j}\omega+2)^{3}}$

Adesso guardiamo il modulo dei singoli fattori:

1) $\left|(1-\text{j}\omega)^{2}\right| = |1-\text{j}\omega|^2 = (\sqrt{1+\omega^2})^2 = 1+\omega^2$
2) $|\text{j}\omega| = |\omega|$
3) $|(\text{j}\omega+2)^{3}| = |\text{j}\omega+2|^{3} = (4+\omega^2)^{3/2}$

Insomma, 2 sbagliati su 3 :roll:

Quindi

$|H(\text{j}\omega)| = 100\frac{1+\omega^2}{|\omega|(4+\omega^2)^{3/2}}$

La fase è quella che ti ha scritto

asamarco:

$\arg H(\text{j}\omega) = -\frac{\pi}{2}-2\arctan\omega-3\arctan\frac{\omega}{2}$

Ora, tu scrivi:

ellosma ha scritto:Il limite della fase che tende a zero invece mi viene 100/0 che sarebbe indeterminato

Scusa, ma dalla fase scritta sopra, dove lo vedi il 100/0 :?:

E' la funzione $H(\text{j}\omega)$ che tende a infinito, non la fase, e tale funzione tende a infinito con un angolo che tende a $-\pi/2$ , e questo dovrebbe dirti qualcosa su come disegnare il diagramma ;-)

Poi,

ellosma ha scritto:100/0 che sarebbe indeterminato,

La funzione H(s)

è una funzione a valori complessi: in analisi complessa è tipico e utile considerare funzioni a valori da e nel cosiddetto piano complesso esteso, $\bar{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ , ovvero il piano complesso completato con il punto all'infinito. In questo piano, per qualunque numero complesso

si pone $z/0 = \infty$ .