Invertibilità Matrici

[sebago]

ti riferisci al fatto che è impreciso...

No. Come ho scritto, mi riferivo al fatto che è più ... semplice

[clavicordo]

Anche a me, come a Gost91 piacciono le rappresentazioni ibride, meglio se grafiche o geometriche. Quella che lui propone la trovo estremamente utile e appagante.

Personalmente per ricordarmi il prodotto tra 2 matrici (m,p) e (p,n) le penso come come insiemi di m vettori riga (prima matrice) e n vettori colonna (seconda matrice), dopodiché opero tutti i prodotti scalari tra gli m vettori riga e gli n vettori colonna. Ogni prodotto scalare (che non è altro che la somma dei prodotti delle rispettive componenti) diventa un elemento della matrice prodotto (m,n), nella posizione data da riga e colonna dei due vettori oggetto del prodotto scalare. La matrice prodotto può essere vista come l'insieme di m vettori riga o di n vettori colonna, le cui componenti sono ottenute dai suddetti prodotti scalari. Capisco che il discorso è un po' farraginoso..

Nell'esempio di Gost91, la matrice prodotto C può essere vista come l'insieme dei tre vettori riga (19, 19), (7, -20), (-23, 56) oppure come l'insieme dei due vettori (19, 7, -23), (19, -20, 56), cioè tre vettori a due dimensioni o due vettori a tre dimensioni.

Adesso vi chiedo (perché di primo acchito non lo so): qual è la relazione tra i vettori di partenza e quelli individuati dalla matrice prodotto?

[raffamaiden]

Aggiungo una cosa riguardo al prodotto di una matrice per un vettore (colonna per semplicità di rappresentazione), utile per risolvere i sistemi lineari.
Il protto di una matrice A per un vettore colonna b dà come risultato una matrice le cui colonne sono combinazione lineare delle colonne della matrice A di partenza, con coefficenti quelli di b. Quindi la prima colonna ha per coefficente il primo elemento di b, la seconda colonna il secondo elemento di b ecc...

Dimostrazione:




Il software del forum mi cambia da solo n n (se scritto 'attaccato' senza lo spazio) in non .............

[DirtyDeeds]

Fortunatamente in LaTeX non hai bisogno di scrivere enne enne attaccato. Puoi scrivere

Codice: Seleziona tutto

a_{n n}

e il risultato è lo stesso:



Ho già corretto il tuo messaggio.

[Ianero]

Continuando con l'algebra lineare (non apro una discussione separata perché si tratta sempre di matrici inverse) stavo studiando questo teorema:

Sia matrice quadrata e invertibile, allora sono equivalenti:
1) è invertibile;
2) Il sistema ammette solo la soluzione nulla ;
3) Attraverso operazioni elementari si può ridurre in ;
4) Il sistema ammette una soluzione per ogni scelta di ;
5) Esiste una matrice tale che .

La 2 e la 4 le ho dimostrate semplicemente così:




La 3 deve essere obbligatoriamente vera in quanto se fosse falsa, la forma a scala per righe ridotta di A avrebbe almeno una riga nulla, ciò vuol dire che il sistema associato avrebbe infinite soluzioni dipendenti da almeno un parametro, in contrasto con la 2 e la 4.

Se le dimostrazioni che ho tentato di fare fin qui sono corrette, spero, provo a porre la domanda sulla 5: quella è solo una definizione parziale di matrice inversa, perché manca il prodotto commutato?

Grazie a chi mi darà una mano.

[RiccardoDesimini]

Se le dimostrazioni che ho tentato di fare fin qui sono corrette, spero, provo a porre la domanda sulla 5: quella è solo una definizione parziale di matrice inversa, perché manca il prodotto commutato?

Sì. Infatti per definizione è invertibile se esiste una matrice tale per cui risulti .