Elettrotecnica e Matematica

[m_dalpra]

Avrei gentilmente bisogno dell'aiuto di un matematico per
capire alcune equazioni differenziali provenienti dall'elettrotecnica.

Sto sfogliando il "MARIO PEZZI - ELETTROTECNICA GENERALE 2. ediz", e mi inbatto nel capitolo 23 :
Transitorio nei circuiti RL e RC serie.

Prendiamo ad esempio la serie RL (resistenza+induttanza)
L'equazione differenziale che ne deriva e' :
V = Ri + L (di/dt)

La soluzione non la scrivo, ma comunque comprende il numero di Neper elevato alla - (R/L) t.

Dato che non mi piace usare le formule senza sapere come sono venute fuori, non saro' contento fintanto che non avro' capito tutti i passaggi che portano alla soluzione della sopra citata equazione differenziale.

Purtoppo i 2 libri di analisi di 5. superiore che ho consultato non mi hanno aiutato per nulla ("... l'equazione e' di semplice soluzione e qui si da' solo il risultato...") !!!!!


Tra l'altro il numero "e", ovvero di John Napier (1550-1617), mi e' particolarmente antipatico in quanto si ricava da un banale limite di
(1+1/x)^x,
e vorrei capire se e' proprio irrinunciabile trovarselo nella soluzione.


Non vi chiedo di spiegarmi tutto, anzi !
Mi bastano solamente i link giusti in quanto penso che questi argomenti sono gia' stati trattati ampiamente, ma non sono riuscito a trovarli !

Un saluto cordiale
Marco

[webmaster]

In generale supponi di avere x(t) funzione del tempo e di dover risolvere l'equazione differenziale
x'(t)=a x(t), con a numero reale fissato diverso da zero.
Allora x'(t)/x(t)=a.
[Nota tecnica, solo per i più esigenti : bisogna notare che se per qualche punto x(t) è uguale a zero, allora x è uguale a zero ovunque: se x(t0)=0, allora x'(t0)=a x(t0)=0, x''(t0)=a x'(t0)=a^2 x(t0)=0... etc. x ha derivate di ogni ordine uguali a zero in t0. Dunque la sua serie di Taylor ha resto di Lagrange n-esimo del tipo (1/(n+1)!)D^(n+1)[x](c(n)) (t-t0)^(n+1) , con c(n) compreso tra t0-epsilon e t0+epsilon (epsilon >0 fissato a piacere). Ma D^(n+1)[x](c(n))=a^n x(c(n)). Essendo x derivabile, e dunque continua, ha massimo e minimo in in [t0-epsilon,t0+epsilon]. Dunque esiste un M tale che per ogni n |D^(n+1)[x](c(n))|<=a^(n+1) M. Quindi il resto n-esimo, in modulo, è minore di (1/(n+1)!)*(t-t0)^(n+1)a^(n+1), che per n che va all'infinito tende a zero. Dunque la funzione coincide con la sua serie di Taylor, che è nulla, dunque la funzione è nulla].
Indichiamo con int(c,d,f(t) dt) l'integrale della funzione f da c a d. Si ha
int(0,t,x'(t)/x(t) dt)=int(0,t,a)=a t
int(x(0),x(t), dx /x)=a t
log(x(t)/x(0))=a t. Infine
x(t)/x(0)=e^(a t).
Cioè x(t)=x(0) e^(a t). Tutte le soluzioni sono cioè del tipo x(t)=C e^ (at), e sono le sole.

Se poi abbiamo anche un termine noto:
x'=a x+b, e y è soluzione, tutte le altre soluzioni saranno del tipo
y+x, dove x è una soluzione del sistema linearizzato x'=a x. Qui una tale y è molto facile da trovare: prendendo y costante, si ha che ay+b=0, quindi y=-b/a. Dunque tutte le soluzioni dell'equazione completa sono del tipo C e^(a t)-b/a, e sono le sole...

[m_dalpra]

Ringrazio per la risposta che vedo molto dettagliata, ma...
mi ci vorra' non meno di una settimana per decifrare i caratteri ASCII e trasformarli nei simboli matematici classici (sempre ci riesca !!)

Per ora ho capito che il numero "e" devo tenermelo !!

Ciao

[webmaster]

Il numero e è proprio irrinunciabile: la funzione e^t è l'unica funzione ad avere derivata uguale a se stessa...

[m_dalpra]

Ripassando la definizione di derivata, ed osservando quella di e^x mi sono accorto che in effetti e' l'unica funzione che derivata ritorna alla stessa, quindi OK per questo.

Nel frattempo sto consultando vari testi di matematica, ed anche siti interet in proposito, ma mi accorgo che sembra non esserci una convenzione per la simbologia.
Da elettrotecnico sono abituato a simboli irrinunciabili (I=corrente, P=Potenza, ecc)
Ero quindi abituato che una funzione debba essere indicata con la notazione :
y = f(x)
che chiarisce bene la variabile dipendente da quella indipendente.
Altre volte invece trovo il simbolo u, u', x, oppure altri a iosa!

Anche te usi x e x', ma sono funzioni o variabili ?
Se sono variabili allora ritengo che intendi :
f'(x)/f(x) = a
ma allora perche' alcuni integrali sono in "dx" ed altri in "dt" ?

Ciao

[webmaster]

Hai ragione, in genere c'è spesso questa ambiguità, soprattutto nelle equazioni differenziali.
Anche nel mio post c'era tale ambiguità. L'ho modificato, scrivendo x(t) al posto di x, quando x andava intesa come funzione.
Spero sia un po' più chiaro.
Sui simboli dx, dt, etc...: L'espressione f(x) dx, ad esempio, va letta come "la funzione che manda x in f(x)".
x'(t)/x(t) dt è la funzione che manda t in x'(t)/x(t). dx /x è la funzione che manda x in 1/x. Questa notazione è utile, ad esempio, quando compaiono più variabili: ad esempio f(x,y) dx è la funzione che a x associa f(x,y) (y va pensato come fissato a priori). f(x,y) dy è invece la funzione che a y associa f(x,y).