Curiosità insieme Q

[Ianero]

Leggendo il teorema:

Sia X un insieme di numeri reali non vuoto limitato superiormente, allora X è dotato di estremo superiore.

È specificato che questo teorema vale solo per i numeri reali.
Mi sono chiesto: per quale motivo non dovrebbe valere anche per i razionali?
Se esiste comunque un insieme di maggioranti Y di X, può al massimo capitare che l'estremo superiore reale sia minore rispetto al minimo maggiorante razionale, ma questo non ne pregiudica comunque l'esistenza, come invece dice il teorema.
Mi sbaglio?

[6367]

Mi sono chiesto: per quale motivo non dovrebbe valere anche per i razionali?

E' sufficiente trovare un contro esempio.
Prendi l'insieme costituito da tutti i razionali il cui quadrato è minore di 2.

[DirtyDeeds]

Il teorema in oggetto è, in realtà, una delle tante possibili caratterizzazioni equivalenti della completezza del sistema dei numeri reali. Come tale, può anche venire anche assunto come assioma. Ianero, come l'avete caratterizzata la completezza dei reali?

[Ianero]

Che dati due numeri reali a e b, esiste sempre un numero reale c tale che:

[DirtyDeeds]

Bene, quell'assioma può essere sostituito in modo equivalente dalla proprietà che hai dato in [1] o da altre caratterizzazioni equivalenti come il teorema di Bolzano-Weierstrass o come quella sulle succesioni di Cauchy.

[Ianero]

Quindi la domanda equivalente alla 1 secondo quanto detto sarebbe, perché nel campo razionale non vale l'assioma di completezza?
E la risposta sarebbe semplicemente, perché non sono presenti alcuni numeri ordinabili, gli irrazionali.
È giusto?

[DR1]

Se un insieme è limitato superiormente, automaticamente ha un estremo superiore.
Questo vale per qualsiasi insieme.

[DirtyDeeds]

E la risposta sarebbe semplicemente, perché non sono presenti alcuni numeri ordinabili, gli irrazionali.

Più o meno. L'ordinabilità non è poi così importante, l'insieme non sarebbe comunque completo come spazio metrico.

Se un insieme è limitato superiormente, automaticamente ha un estremo superiore.
Questo vale per qualsiasi insieme.

NO! DR1, cerca di evitare di dare informazioni così palesemente sbagliate.

[DR1]

qual è la definizione di estremo superiore ?

[DirtyDeeds]

qual è la definizione di estremo superiore ?

Eccola

Quello che ti sfugge è che l'estremo superiore deve fare parte dell'insieme che si considera. In , non tutti gli insiemi limitati superiormente hanno estremo superiore, vedi il controesempio dato da 6367.