Dubbio sfasamento filtri.

[deltax]

Dalla domanda da parte di un mio amico sullo sfasamento dei filtri, mi è sorto un dubbio sullo sfasamento introdotto dai filtri.
Nello studio dei filtri mi sono sempre concentrato (anche i libri si concentrano su questo, come il sedra-smith) sul diagramma di bode del modulo. Mettere dei vincoli sulla fase, citando il sedra, complica di molto la progettazione del filtro. Fino ad oggi quindi non mi ero posto il problema, però adesso ho il seguente dubbio : ho visto varie risposte di filtri che, in corrispondenza della banda passante, avevano come sfasamento una curva lineare (nel grafico sfasamento VS frequenza in decadi). Invece, secondo la mia logica, in banda passante si dovrebbe avere uno sfasamento costante, e adesso tenterò di spiegare il perché : spero che riusciate a capire cosa intendo, cosi da potermi spiegare dov'è l'errore nel mio ragionamento.
Supponiamo per semplicità di avere un segnale con due sole frequenze. Passa in un filtro in cui entrambi i moduli sono immutati (guadagno =1) ma c'è uno sfasamento con andamento lineare (per esempio decescente). Quindi, le due frequenze subiranno uno sfasamento DIVERSO. Perciò, in questo caso, all'uscita, il segnale (che è un mix delle due frequenze) non risulterà distorto, visto che che le due frequenze hanno subito uno sfamento diverso?
Invece, se l'andamento dello sfasamento fosse piatto (costante), entrambe le frequenze subirebbero lo stesso sfasamento, quindi il segnale d'ingresso si avrebbe all'uscita solo con un ritardo proporzionale allo sfasamento.

Dove è fallace il mio ragionamento?

[DirtyDeeds]

Invece, secondo la mia logica, in banda passante si dovrebbe avere uno sfasamento costante

Sbagliato: non si vuole e non si può.

non risulterà distorto, visto che che le due frequenze hanno subito uno sfamento diverso?

No, perché quando la fase varia linearmente con la frequenza i due segnali risultano semplicemente ritardati o anticipati di un ritardo costante: il segnale all'uscita del filtro è una traslazione del segnale originario. Se la fase fosse invece costante, i due segnali risulterebbero ritardati in modo diverso con conseguente distorsione.

Comunque, non è che si possano scegliere modulo e fase di un filtro in modo indipendente: la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica sono infatti legate dalle relazioni di Kramers-Kronig.

[deltax]

No, perché quando la fase varia linearmente con la frequenza i due segnali risultano semplicemente ritardati o anticipati di un ritardo costante.

puoi spiegare meglio questo concetto?
Io mi sono accorto che il mio ragionamento è sbagliato, come mi hai confermato, ma non riesco a capire DOVE è sbagliato. In sostanza tu non hai fatto altro che enunciare correttamente la proprietà che lo sfasamento deve essere lineare con la frequenza, cosa che avevo già letto altrove, ma appunto non riesco a capire perché.
Partendo dal mio esempio, potresti dirmi dove sbaglio?
Magari lo ripeto, per chiarezza. Se ho 2 frequenze che compongono il segnale, e lo sfasamento è lineare (una retta) mi sembra normale che lo sfasamento risulterà diverso per le due componenti frequenziali. Questo mi è apparso chiaro guardando molti diagrammi di bode della fase di alcuni filtri. E gli scostamenti non erano nemmeno tanto piccoli (20°). Tu invece affermi che se lo sfasamento varia linearmente i due segnali vengono anticipati o ritardati di un tempo costante...e appunto non capisco perché.

[DirtyDeeds]

Considera un segnale con trasformata di Fourier . Il segnale ritardato ha trasformata di Fourier . Un ritardatore ideale ha quindi funzione di trasferimento



la cui fase varia appunto linearmente con la frequenza:



Nota come la funzione di trasferimento del ritardatore ideale sia trascendente e quindi non realizzabile con filtri a componenti concentrati. In un filtro a componenti concentrati si può cercare di rendere il più possibile estesa la banda in cui la fase è lineare per ottenere una distorsione di fase minima (filtri di Bessel).

Nota come ponendo si abbia



da cui



La quantità



viene chiamata ritardo di fase, mentre la quantità



viene chiamata ritardo di gruppo: non si ha distorsione di fase quando i due ritardi sono uguali e costanti con la frequenza.

Un caso semplice da analizzare per veder cosa accade quando questa condizione non è rispettata è quello dell'impulso gaussiano (magari più tardi riesco a trovare il tempo di scrivere qualcosa su questo).

[deltax]

grazie mille, sei stato chiarissimo, adesso ho capito tutto, alla fine era abbastanza semplice. Alla prossima