Corrente induttore in un Circuito di secondo grado

[Samatarou]

Ho svolto questo esercizio, ma il risultato non mi riesce. Quindi vi scriverò tutti i passaggi svolti.
Esattamente dove sbaglio?

Intanto eccovi il circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel circuito l'interruttore rimane chiuso per molto tempo, quindi si apre in t=0. Ricavare la corrente i(t) per t>0

Bene, iniziamo lo studio del circuito, osservando come si comporta per t<0.
In questo caso l'interruttore è chiuso e il circuito è a regime:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Da esso mi sembra evidente che essendo in parallelo con un cortocircuito, mentre l'ho calcolato tramite il metodo delle maglie, evidenziando le correnti:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Per cui abbiamo tale sistema:


Da cui si ricava che J1=J2=1 A dunque . Prime condizioni iniziali trovate.

Studiamo ora il circuito per

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Da cui, grazie al Principio di continuità ricavo le seguenti relazioni:


Scrivo l'equazioni delle maglie una seconda volta, essendo il mio obiettivo


Da cui ottengo



Conoscendo l'equazione caratteristica dell'induttore:
Ottengo ricordando che L=1 H . Con esso ho trovato anche le seconde condizioni iniziali.

Proseguo studiando il circuito a t>0
Rappresentando il circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ammetto che questa è la parte dove nutro i più grandi dubbi. Ho comunque provato a proseguire.
Dall'eq. delle maglie salta fuori questo sistema:

Dove
e da cui ricavo, svolgendo il sistema:

Derivando tutta l'equazione con l'operatore D= ottengo (4,5 va via essendo una derivata)

Da cui ottengo l'equazione differenziale:

In cui abbiamo ovvero e ovvero .
Avendo siamo nel caso del circuito sottosmorzato.
Ricapitoliamo quindi le condizioni iniziali e la soluzione del circuito sottosmorzato.

*è e elevato alpha*t

Risolvendo il sistema, che mi permette di trovare A1 e A2, da cui posso ottenere A.
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

ma comunque è inutile scriverlo perché non è uguale al risultato.

N.B. l'effettivo risultato è

So, che il post può risultare lungo e difficile da seguire, ma se riuscite a darmi una mano vi sarei immensamente grato, grazie mille ragazzi

[g.schgor]

La condizione di regime per t<0 è semplicemente
.
( la resistenza da 3 Ohm cortocircuitata è come se non esistesse...)

[Samatarou]

Bene, in effetti hai ragione e non ci ho fatto assolutamente caso.
Partendo da queste condizioni iniziali:


Ne consegue che


Ottengo e dunque

Nel resto dell'esercizio c'è qualche errore? L'equazione differenziale, magari?

[Samatarou]

Mi sono accorto di una stupida mancanza nei sistemi, ovvero ho scordato a mettere nella seconda equazione il termine -J1(3).

Ora mi riesce tutto. Grazie comunque per avermi fatto notare l'errore nella condizione iniziale