ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **ficium** » 9 gen 2014, 14:03

Sto facendo la dimostrazione del metodo di Tustin e non capisco questi passaggi , se qualcuno può darmi una mano gli sarei davvero grato :-)

( T è il periodo di campionamento )

$\frac{2}{T}\times \frac{e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1} \cong j\times\omega$

$\Rightarrow$

$T\times\omega\cong2\times \frac{\sin(\omega T)}{1+\cos(\omega T)}=2\times \tan(\frac{\omega T}{2})$

da **ficium** » 9 gen 2014, 20:13

sono quasi sicuro che bisogna trasformare con qualche passaggio matematico , $\frac{e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1}$ in $\frac{\frac{e^{j\omega T}-e^{-j\omega T}}{2j}}{\frac{e^{j\omega T}+e^{-j\omega T}}{2}+1}$

in quanto : $sin(\omega T) = \frac{e^{j\omega T}-e^{-j\omega T}}{2j}$

e : $cos(\omega T) =\frac{e^{j\omega T}+e^{-j\omega T}}{2}$

da **Pepito** » 10 gen 2014, 10:44

Anche secondo me è quella la strada...
Appena ho un attimo provo a fare i passaggi... sempre se mi vengono...

ciao

PSQ

da **Pepito** » 10 gen 2014, 14:59

Ciao.
Io ci arrivo per questa strada:

Pongo
$\omega T = \Theta$

dopo di che moltiplico sia denominatore che numeratore per
$e^{-j\frac{\Theta}{2}}$

A quel punto con la formula di Eulero per seno e coseno trovi il risultato (la tangente).
Perdono ma sono al lavoro e non ho tempo di scrivere tutti i passaggi con LaTeX...
Ciao

PSQ

da **ficium** » 10 gen 2014, 16:22

Pepito grazie per la dritta , sono riuscito a fare i calcoli , di seguito riporto i passaggi :

posto $\theta = \omega\times T$

abbiamo : $\frac{e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1}$

motiplicando e dividendo per $e^{-j\frac{\theta}{2}}$ abbiamo :

$= \frac{e^{j\theta}-1}{e^{j\theta}+1} \times \frac{e^{-j\frac{\theta}{2}}}{e^{-j\frac{\theta}{2}}}$

$=\frac{e^{j\frac{\theta}{2}}-e^{-j\frac{\theta}{2}}}{e^{j\frac{\theta}{2}}+e^{-j\frac{\theta}{2}}}$

$=j\times\frac{sin(\frac{\theta}{2})}{cos(\frac{\theta}{2})}=j\times tan(\frac{\theta}{2})$

$=j\times\frac{sin(\theta)}{1+cos(\theta)}$

da **Pepito** » 10 gen 2014, 18:24

Sono contento di esserti stato di aiuto.
Se posso permettermi un consiglio, per indicare la moltiplicazione usa il comando \cdot in latex, altrimenti sembra che vuoi usare un prodotto vettoriale (anche se in questo caso non avrebbe senso...).
Ciao

PSQ

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Passaggi matematici Tustin

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