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da **PietroBaima** » 24 gen 2014, 0:20

il teorema corretto è questo:

Se la serie è convergente allora la successione che definisce la stessa serie (in pratica ciò che c'è dentro la serie) ha come limite zero, per n che tende ad infinito.

è quindi necessario che il limite della successione tenda a zero, per fare in modo di avere la convergenza, ma (attenzione!) non sufficiente.

In pratica se il limite della successione tende a zero (per n che tende ad infinito) la serie potrebbe convergere, se il limite della successione non tende a zero (per n che tende ad infinito) la serie non può convergere.

Nota bene: non può convergere non significa che diverge, perché potrebbe anche oscillare.

Esempi:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n} = 0$

Nonostante il limite tenda a zero si può dimostrare che serie diverge.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

$\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n^2} = 0$

Il limite tende a zero e si può dimostrare che la serie converge.

$\sum_{n=1}^\infty 1$

$\lim_{n\rightarrow \infty } 1 = 1$

Il limite non tende a zero (tende ad 1) e quindi la serie non converge (in questo caso diverge)

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$

$\lim_{n\rightarrow \infty } (-1)^n = \nexists$

Il limite non tende a zero e quindi la serie non converge (in questo caso oscilla)

Spero di aver fatto chiarezza.

Ciao,
Pietro

da **piero1987** » 24 gen 2014, 13:19

PietroBaima ha scritto:
Spero di aver fatto chiarezza.

Ciao,
Pietro

È molto più chiaro adesso! Ti ringrazio....
Il dubbio che mi rimane é:
Una volta che io faccio il limite di 'an', e mi da zero, so che la serie può convergere; come faccio ad avere la certezza poi che la serie effettivamente converge o diverge?

da **PietroBaima** » 24 gen 2014, 13:33

In genere è la parte più complicata, perché richiede una buona dose di fantasia.
Esistono però molti metodi, per esempio il criterio del rapporto, il criterio della radice, la maggiorazione o la minorazione con una serie rispettivamente convergente e divergente, che non posso certo elencarti tutti!
Inoltre è richiesta anche una buona dose di esercizio.

Posso però rimandarti allo studio di qualche appunto che ho trovato online, che ho rapidamente sfogliato per vedere se può fare al caso tuo.

Come prima cosa studiati questo, sono degli appunti ben fatti. Riportano il teorema che ti ho citato e l'ABC dei primi teoremi e risultati sulle serie numeriche. Non andare oltre se non dopo averlo studiato e capito.

Qui, invece, hai degli esercizi risolti e ragionati sulle serie. Procedi, dopo aver studiato il primo link, a testarti su questi esercizi, per vedere se hai capito. Se qualcosa non ti è chiaro ritorna sugli appunti.

A questo punto dovresti avere le idee chiare, scarica quindi questo e approfondisci.

Quando avrai finito dovresti avere una base solida sull'ABC delle serie, torna quindi qui. Ti darò due esercizi difficili per vedere se hai capito davvero e ti spiegherò altre cose.

Se vuoi, puoi anche dare una occhiata a questo mio articolo, nel quale suggerisco un po' di libri per il matematico che non deve chiedere mai, ci sono ovviamente anche le serie

Con questo è tutto, ti saluto.
Se serve altro aiuto sono qui.
Buono studio.

Pietro.

da **Gost91** » 24 gen 2014, 13:49

Ciao [user]UtenteCancellato1987[/user], è possibile convincersi che la serie armonica diverge mediante un semplice ragionamento geometrico.
Se sei mastichi un po' le nozioni basilari della teoria del calcolo integrale (di Riemann) non ti sarà difficile comprendere la dimostrazione che sto per riportare.

Allora, partiamo da questa semplice somma (non ti fare spaventare dal risultato!)

$\sum_{n=1}^{10}1/n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=\frac{7381}{2520}$

Adesso proviamo a tracciare su un piano cartesiano questi primi 10 punti della successione armonica 1/n

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Adesso modifichiamo tale grafico nel seguente modo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Possiamo distinguere 10 rettangoli in figura, chiediamoci adesso quanto misurerà la superficie occupata dalla loro unione, ovvero la superficie evidenziata in rosso nella seguente figura

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Possiamo rispondere affermando che tale superficie corrisponderà alla somma delle aree dei singoli rettangoli di figura.
Quanto misura l'area di ogni singolo rettangolo? Ci risponde la buon vecchia formula base per altezza.
Osserviamo quindi che l'altezza del primo rettangolo è 1/1=1 e la sua base è 2-1=1, il secondo rettangolo è di altezza 1/2 e base 3-2=1, il terzo è di altezza 1/3 e base 4-3=1 etc..., fino ad arrivare al decimo rettangolo di altezza 1/10 e base 11-10=1.

Riassumiamo quanto detto con una formula

$\begin{align} \text{Area Rossa} &=\frac{1}{1} \cdot (2-1)+\frac{1}{2} \cdot (3-2)+\frac{1}{3} \cdot (4-3)+...+\frac{1}{10} \cdot (11-10) \\ &=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}\cdot (n+1-n) \\ &=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}\cdot 1 \\ &=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n} \\ &=\frac{7381}{2520} \end{align}$

Abbiamo appena scoperto che la serie armonica troncata al decimo passo può essere interpretata come l'area rossa nella figura precedente.

$\text{Area Rossa}=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}$

Teniamo bene a mente questa considerazione appena fatta, ci servirà nuovamente più tardi.

Ora facciamo un passo in avanti considerando la funzione f(x)=1/x per x compreso tra 1 e 11, abbiamo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Chiediamoci, quanto varrà l'area sottesa dalla curva di figura? (ovvero l'area evidenziata in blu nella figura sottostante)

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Possiamo utilizzare il precedente risultato per effettuare una stima?
Si, possiamo, basta fare una semplice osservazione sulla figura sottostante.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La curva descritta dalla funzione f(x)=1/x non va mai al di sopra delle basi superiori dei rettangoli, dunque possiamo affermare con certezza che

$\text{Area Blu} < \text{Area Rossa}$

Adesso, ricordando che

1) L'integrale definito di una funzione continua (nonnegativa) rappresenta l'area sottesa dalla curva descritta da essa, nel nostro caso

$\int_{1}^{11} \frac{1}{x} \text{ d} x = \text{Area Blu}$

2) area rossa = serie armonica troncata al decimo passo

si trova che

$\int_{1}^{11} \frac{1}{x} \text{ d} x < \sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}$

Infatti, facendo qualche conto

$\int_{1}^{11} \frac{1}{x}\text{ d} x= \ln |x| \bigg|_{1}^{12}=\ln(11)-\ln(1) \approx 2,398$

$\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}=\frac{7381}{2520} \approx 2,929$

Bene, ma se adesso volessimo estendere il ragionamento considerando tutta la serie armonica, come potremmo fare?

Dobbiamo per prima cosa associargli, coerentemente a quanto fatto prima, un significato geometrico.

Per ora abbiamo appurato che

$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n}=\text{Area unione primi 10 rettangoli; di altezza 1/n, base 1}$

$\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}>\int_{1}^{11} \frac{1}{x} \text{ d} x$

Se adesso considerassimo la serie armonica troncata al passo N-esimo, con N generico e finito, come cambierebbero le cose? Si troverebbe

$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}=\text{Area unione primi N rettangoli; di altezza 1/n, base 1}$

e di conseguenza

$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}>\int_{1}^{N+1} \frac{1}{x} \text{ d} x$

Se adesso considerassimo tutta la serie armonica?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\text{Area unione di tutti i rettangoli alla destra del primo; di altezza 1/n, base 1}$

e dedurremmo che

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \text{ d} x$

Proviamo a valutare l'integrale della precedente relazione

$\begin{align} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \text{ d} x &=\lim_{N \to \infty} \int_{1}^{N} \frac{1}{x} \text{ d} x \\ &=\lim_{N \to \infty} \ln |N|\bigg |_{1}^{N} \\ &=\lim_{N \to \infty} \ln (N)-\ln(1) \\ &=\lim_{N \to \infty} \ln (N) \end{align}$

essendo il logaritmo naturale una funzione strettamente crescente, si trova che l'integrale tende all'infinito al tendere all'infinito di N.
Conseguentemente, dato che la serie maggiora il precedente integrale generalizzato, si conclude che anche la serie armonica tende all'infinito, cioè diverge a $+\infty$ , concludendo così la dimostrazione.

Questo approccio geometrico funziona anche per dimostrare un altro fatto: la serie armonica generalizzata di parametro $\alpha >1$ converge, diverge per $\alpha <1$ .

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \begin{cases} \text{converge} &\text{se } \alpha > 1 \\ \text{diverge} &\text{se } \alpha \leq 1 \end{cases}$

Infatti, ripetendo gli stessi identici ragionamenti si arriva a trovare (occhio alla verso della disuguaglianza!)

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} \text{ d} x$

la quale dimostra la finitezza (cioè la convergenza) della serie in quanto l'integrale a destra risulta essere convergente (cioè non infinito) per $\alpha >1$ .
Allo stesso modo, ma con la disuguaglianza invertita, si dimostra la divergenza per $\alpha<1$ (il caso $\alpha=1$ è quello che ho appena dimostrato).

da **piero1987** » 24 gen 2014, 14:05

PietroBaima ha scritto:Con questo è tutto, ti saluto.
Se serve altro aiuto sono qui.
Buono studio.

Pietro.

Ti ringrazio

seguirò senz'altro il tuo consiglio.
Mi metto subito all'opera :)
a presto

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