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Sviluppo asintotico

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 gen 2014, 18:51

Tanto per cambiare un po' i ruoli, stavolta una domanda la faccio io: :D

quali sono i primi due termini dello sviluppo asintotico della funzione y=arcsin(x) nel punto x=1 ?

... e i primi tre?
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[2] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto Utenteyustel » 25 gen 2014, 19:26

Mmmm... ammesso di aver compreso la domanda, ma non dovrebbe essere derivabile nel punto x=1 per poter avere uno sviluppo?

La funzione ha derivata:
\frac{d}{dx} \left{ \text{arcsin}(x) \right} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Che nel punto x=1 esplode, quindi direi che se l'analisi non mi ha abbandonato (che è una cosa possibilissima eheheh) non è sviluppabile (derivate inoltre non limitate ma soprattutto funzione non derivabile).
Erwin Schrödinger forse è stato qui.
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[3] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 20:05

RenzoDF ha scritto:quali sono i primi due termini dello sviluppo asintotico della funzione y=arcsin(x) nel punto x=1 ?


Il termine sviluppo asintotico è un po' ambiguo. Se intendi lo sviluppo di Taylor intorno a x=1, questo non si può fare, come detto da Foto Utenteyustel.

Si possono però fare altri tipi di sviluppi, p.es. [Abramowitz e Stegun, 4.4.41]

\arcsin(1-x) = \frac{\pi}{2}-(2x)^\frac{1}{2}\left[1+\sum_{k=1}^\infty\frac{1\times 3\times 5\times\cdots\times(2k-1)}{2^{2^k}(2k+1)k!}x^k\right]

valido per |x|<2.
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[4] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 gen 2014, 21:05

DirtyDeeds ha scritto:...Il termine sviluppo asintotico è un po' ambiguo.

Non c'è dubbio, ma "quella" era la domanda, che non è mia. :-)

DirtyDeeds ha scritto:... Se intendi lo sviluppo di Taylor intorno a x=1, questo non si può fare, come detto da Foto Utenteyustel.... Si possono però fare altri tipi di sviluppi ...

Visto però che "gli altri sviluppi" non erano di certo assunti noti, anche se non direttamente, direi che Taylor potrebbe comunque essere utilizzato.
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[5] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 gen 2014, 21:27

Il problema di quella funzione è che non è derivabile per x=1.
Questo non lascia speranza per uno sviluppo "classico" della funzione.
Però, a voler essere rigorosi, la pseudoderivata sinistra esiste, mentre quella destra non ha alcun senso.

Si potrebbe quindi, pensavo, tentare uno (pseudo?)sviluppo in serie di Taylor, centrato in 1, sostituendo la derivata ordinaria con la pseudoderivata sinistra?

Ci ho provato e il risultato è incoraggiante.
Chiaramente il senso della serie di potenze diventa evanescente, perché non si rispettano più le ipotesi poste da Taylor, cioè di differenziabilità locale.

Ho quindi eseguito il comando Mathematica (sono pigro e non ho voglia di fare i conti a mano :mrgreen: )
Codice: Seleziona tutto
Simplify[ComplexExpand[Normal[Series[ArcSin[x], {x, 1, a}]]], x < 1]


dove ad "a" ho sostituito 1 e 2 per ottenere 2 o 3 elementi di questo strano frutto della mia mente malata (gli indici in Mathematica cominciano da 0 come in C).

Se metto 1 salta fuori:

\frac{\pi }{2}-\sqrt{2-2 x}

Se metto 2 salta fuori:

\frac{\sqrt{1-x} (x-13)+3 \sqrt{2} \pi }{6 \sqrt{2}}

Se poi aumento l'indice si intravede lo zampino di Taylor, che per fortuna è ancora un po' vivo anche qui e cerca di lottare insieme a noi :D

Ecco il risultato con 10:

\frac{\sqrt{1-x} \left(a_9 x^9-a_8  x^8+a_7 x^7-a_6 x^6+a_5 x^5-a_4 x^4+a_3 x^3-a_2 x^2+a_1 x-a_0\right)+c_1 \sqrt{2} \pi }{c_2 \sqrt{2}}

(Non ho riportato i numeri da a_0 a a_9 e le due costanti c perché venivano fuori numeri improponibili)
Si vede infatti la struttura (pseudo?)polinomiale dello sviluppo.

Ho quindi fatto un grafico troncandolo al secondo ordine e viene fuori questo risultato:

psedotaylor.gif
psedotaylor.gif (5.55 KiB) Osservato 3157 volte


In blu è disegnato l'arcoseno mentre in violetto il polinomio approssimante.

Ciao,
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[6] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 21:31

RenzoDF ha scritto:Non c'è dubbio, ma "quella" era la domanda, che non è mia.


Conoscere il contesto aiuterebbe ;-)

RenzoDF ha scritto:Visto però che "gli altri sviluppi" non erano di certo assunti noti, anche se non direttamente, direi che Taylor potrebbe comunque essere utilizzato.


Non direttamente. Quello che si potrebbe fare è trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione arcoseno divisa per un'opportuna funzione che gli rimuova la singolarità. Per esempio:

\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x}} =  x+\frac{x^2}{2}+\frac{13}{24}x^3+O(x^4)
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[7] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 gen 2014, 21:34

DirtyDeeds ha scritto:Non direttamente. Quello che si potrebbe fare è trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione arcoseno divisa per un'opportuna funzione che gli rimuova la singolarità


Ecco sì, in altre parole abbiamo fatto la stessa cosa :D
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[8] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 21:36

PietroBaima ha scritto:Ecco sì, in altre parole abbiamo fatto la stessa cosa


Non solo: anch'io sono stato pigro ;-)
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[9] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 gen 2014, 22:53

Vi ringrazio, come sempre rigorosissimi ed impeccabili entrambi :!: =D> =D> =D>

Vi ho rivolto il quesito che mio nipote mi ha fatto questo pomeriggio, in relazione ad una domanda di uno scritto di analisi del primo anno di Fisica, per vedere in quale modo si dovesse affrontare seriamente il problema.
Io, più idraulicamente, l'unica risposta che sono riuscito a trovare è stata quella di bypassare il problema derivativo andando a sviluppare con Taylor la funzione seno nel punto y=\pi /2 che, vista la richiesta dei soli due primi termini limito a

x=\sin y\approx 1-\frac{1}{2}{{\left( y-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}+...

e quindi a passare algebricamente alla funzione inversa esplicitando y

y=\frac{\pi }{2}-\sqrt{2(1-x)}+...

e a occhio e croce penso di riuscire con un paio di passaggi in più anche a trovare il terzo termine ... che non era comunque richiesto.

Ho ovviamente testato anch'io il "delta" in prossimità di x=1

2014-01-25_215604.png

e confesso che pensavo andasse peggio. :-)
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[10] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 23:03

Mi sono accorto che lo sviluppo che ho scritto in [6] è sbagliato, non tenetene conto, domani cerco di aggiustare (tra un po' lo cancello). sorry
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