Punti con tangente a 45 gradi

[g.schgor]

Suggerirei di rimanere coi piedi per terra (cioè su un piano).
Mi sembra tu non sia ancora riuscito a scrivere y=f(x)

[wackos]

non ho capito che strada sevo seguire

[g.schgor]

L'ho già detto al post[6]:
considera le potenze di x come parametri ed espliciti y
poi poni =1 la derivata (rispetto ad x) di questa funzione

[wackos]

non sono capace... ho un vuoto su questa cosa.. non credo di averlo mai fatto... come passo da f(x,y) a y(x)?

[g.schgor]

[wackos]

ah solo?

[g.schgor]

Lascio a te fare la derivata....

[Gost91]

'individuare i punti di dove gli insiemi di livello della funzione hanno una tangente a rispetto alle ''

Continuo a rimanere perplesso, e rimango dell'idea che il problema è mal posto.
Ripeto, magari sono io che non riesco a coglierlo...

L'unico modo di procedere, secondo me, è quello di riformulare il problema, dandogli un senso e rendendolo al tempo stesso risolubile da un punto di vista pratico.
Facendo così, però, si rischia di non andare a rispondere alla domanda posta da chi ha scritto il testo.

Io credo che il tizio in questione intendesse

" Data la funzione definita su tutto , individuare i suoi insiemi di livello descriventi curve della forma .
A seguire, individuare per tali insiemi di livello, se esistono, dei punti soddisfacenti la relazione "

Continuo però a rimanere perplesso.
A meno di particolari ragionamenti analitici, si dovrebbe andare a studiare ogni singolo insieme di livello, cosa al quanto scomoda (se non addirittura impraticabile!) dato che essi sono infiniti (e neanche numerabili!).

A questo punto prenderei spunto da quanto detto da g.schgor in [11].
Restringerei il precedente problema considerando il solo insieme di livello a quota nulla, cioè quello descritto dall'equazione , ovvero



e per tale insieme andrei a ricercare, se esistono, i punti verificanti le precedenti richieste.

Riassumendo, porrei il seguente nuovo problema:



Problema

" Data la funzione definita su tutto , determinare se il suo insieme di livello a quota nulla descrive una curva della fuorma .
A seguire, individuare per tale insieme di livello, se esistono, dei punti soddisfacenti la relazione "

A titolo d'esempio proverei a risolverlo.



Soluzione

Come già notato in precedenza, questo problema si basa sull'applicazione del teorema del del Dini
Per praticità lo riporto

Teorema (del Dini) - Sia un aperto di e una funzione . Supponiamo che in un certo punto sia:



Allora esiste un intorno di in e un'unica funzione , tale che



Inoltre, e




Se considerando l'insieme di livello dato dal problema riusciamo a soddisfare tutte le richieste del teorema, allora abbiamo una garanzia sul fatto che il problema ammette soluzione.

Allora, per prima cosa osserviamo che la richiesta sul dominio della funzione è soddisfatta in quanto è un aperto di se stesso.
E' soddisfatta pure la richiesta sulla funzione , in quanto essa è polinomiale nelle sue variabili.
A questo punto non resta che trovare un punto secondo le due precedenti relazioni.
Calcoliamoci la derivata parziale rispetto a y della nostra



Dobbiamo ora trovare uno zero per la che, al tempo stesso, non sia uno zero per la .
Andiamo per tentativi.

Un primo possibile candidato potrebbe essere , esso infatti è uno zero per la .
Purtroppo però è anche uno zero per , dobbiamo quindi scartarlo.

Riproviamo con . Si verifica facilmente che esso fa al caso nostro.

A questo punto il Dini ci dice che in un opportuno intorno di è definita implicitamente un'unica funzione , derivabile per ogni .

In questo caso la funzione è anche esplicitabile (*), e risulta essere



Lascio concludere a te l'esercizio, dandoti la traccia completa della soluzione

1)Calcola e ponila identicamente a 1.
2)Risolvila, al fine di trovare le ascisse dei punti che stiamo cercando (cioè a tangente unitaria).
3)Sostituisci le ascisse trovate in , così da trovare le corrispondenti ordinate e concludere l'esercizio.

Se vuoi confrontare il tuo risultato, a me torna un'unica soluzione data dal punto





(*) Osservazione utile: facendo qualche conto, quando si arriva a esplicitare y si ottengono 2 funzioni di x distinte





Dato che il teorema afferma che la funzione implicita g è unica, sembrerebbe esserci qualcosa che non va.
Questo impressione si smentisce subito, in quanto tale teorema ha valenza solo in locale, infatti si parla di un opportuno intorno .
Si vede facilmente che per il punto passa solamente la .