Fourier

[miky9757]

Scusate l'ignoranza, che differenza c'è tra Trasformata e Serie di Fourier?
se potete rispondermi in breve, grazie

[PietroBaima]

Una è una trasformata, l'altra è una serie trigonometrica.

Abbastanza breve?

[miky9757]

ok va bene grazie :) in pratica la trasformata è l'operazione matematica che consente di "trasformare" le funzioni mentre la serie di F è una rappresentazione matematica del teorema di fourier, giusto?

[PietroBaima]

No, purtroppo.

Quando sviluppi in serie di Fourier una funzione la scrivi semplicemente in un altro modo, cioè la scomponi in una infinità di frequenze che la compongono.
Le frequenze hanno ampiezza via via decrescente: le prime definiscono "l'ossatura" della funzione, poi, man mano che aggiungi armoniche (si chiamano così, queste frequenze) passi a rifinire i dettagli.
Guarda questa animazione:

animate.gif (464.97 KiB) Osservato 4418 volte

In rosso hai la funzione originale, in blu hai la serie di Fourier a cui man mano vengono aggiunti termini.
Come vedi si passa da una rappresentazione grossolana ad una più precisa.

Serve però avere una funzione periodica (nella animazione viene riportato un solo periodo)
Guardando più periodi osserveresti questo:

animate-per.gif (602.23 KiB) Osservato 4418 volte

La F-trasformata, come si chiama in gergo, è invece una trasformata integrale, cioè, detto in soldoni, non risente del problema della periodicità della funzione. Posso quindi utilizzarla con qualunque funzione (o quasi!).
E' molto utilizzata nella soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali, specialmente di tipo parabolico.

Non è un caso il fatto che Fourier la mise a punto per risolvere l'equazione del calore.

Guarda questa animazione:



E' l'andamento del calore nel tempo su di una superficie riscaldata.
Come vedi il corpo lentamente si raffredda, cioè, sempre in soldoni, "perde" armoniche e passa da una distribuzione di temperatura più netta ad una più smussata, un po' quello che succedeva nel grafico della funzione di prima, quello per la serie. Stavolta, però, la funzione non ha alcuna periodicità, quindi non è possibile utilizzare la serie di Fourier, ma solo la sua trasformata.

Come vedi non è proprio possibile rispondere essendo brevi, sappi inoltre che ti dato solo pochi primitivi vaghi cenni.
Penso che questo argomento sia uno dei più belli che ci ha regalato la fisica.

Ciao,
Pietro.

[DirtyDeeds]

Un'altra osservazione che si può fare è questa: una trasformata (di Fourier, Laplace ecc.) è una mappa da uno spazio di funzioni in un altro simile. La serie di Fourier mappa invece una funzione di un opportuno spazio in una successione.

[simo85]

Cercavo questo post da un sacco di tempo per via delle animazioni.

Quindi PietroBaima, domanda da 1M $.
Con quale software le hai sviluppate?

Mathematica, Matlab? Con Octave o Sage è possibile?

[PietroBaima]

Mathematica, ma è possibile farle anche con tutti gli altri software che hai citato.

Per pigrizia ho tratto l'animazione del corpo che si raffredda da wiki.

Ciao,
Pietro.

[simo85]

ma è possibile farle anche con tutti gli altri software che hai citato.

OK grazie 1k per la info Pietro.

[PietroBaima]

Prego!

Ecco il codice, se può servirti:

Codice: Seleziona tutto

f[x_, To_, T_, A_] :=
If[(x > T/2), A,
  If[(x > 0), (3*A),
   If[(x > -T/2), (4*A/T*x + 3*A),
    If[(x > -T), A, (-2*A/(2*T - To)*x - A*To/(2*T - To))]]]];
Plot[f[t, 2*Pi, 1, 1], {t, -Pi, Pi}, PlotRange -> {0, 3.5},
AxesOrigin -> {0, 0}]

Plot[N[FourierTrigSeries[f[t, 2*Pi, 1, 1], t, 100]], {t, -3 \[Pi],
  3 \[Pi]}, PlotRange -> {0, 3.5}, AxesOrigin -> {0, 0}]


scusa se è scritto di fretta, non è fatto per essere "distribuito" ...

[GiulioB]

Se posso introdurmi vorrei consigliare un libro che usavo all'universita', gli esercizi proposti soprattutto per l'approsimazione di funzioni con le serie di Fourier erano fantastici, e non solo.

http://www.inmondadori.it/Metodi-matematici-ingegneria-Marco-Codegone/eai978880809814/