ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **GustaVittorio** » 31 mar 2014, 15:31

Salve a tutti mi trovo a dover determinare il carattere della seguente serie :

$\sum_{n=1}^{+inf}\frac{4^{n}n!n!}{(2n)!}$

Essendoci esponenziali e fattoriali ho utilizzato il criterio del rapporto :

$\frac{4^{n}n!n!}{(2n)!}=\frac{4^{n+1}(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} . \frac{2n!}{4^{n}n!n!}$

$\frac{4^{n+1}(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} . \frac{2n!}{4^{n}n!n!}=\frac{4(n+1)n!(n+1)n!}{(2n+2)(2n+1)2n!}.\frac{2n!}{4^{n}n!n!}$

facendo le opportune semplificazioni :

$\frac{4n^{2}+8n+4}{4n^{2}+6n+2}$

facendone il limitie a +inf il risultato è 1... quindi in teoria non posso applicare il criterio del rapporto perché non da risultati... però i passaggi sembrano corretti, nonc capisco quale altro criterio porei utilizzare ...
illuminatemi per piacere

da **Ianero** » 1 apr 2014, 18:32

Quel numeratore sembra molto grande...
Verifica la condizione necessaria prima di applicare i criteri, la serie non converge :-)

PS:
Attento che $(2n)! \neq 2n! = 2(n!)$ O_/

da **GustaVittorio** » 1 apr 2014, 22:01

uhhm... non riesco a vedere l'errore al numeratore! :shock:

sicuramente sbaglierò, però non riesco proprio a vederlo... sviluppo soltanto (n+1)! per farlo semplificare con n!

da **Ianero** » 1 apr 2014, 22:22

Non ho detto che ci sia un errore, ho solo voluto farti notare che guardando l'argomento a_n

di quella serie si nota che il numeratore cresce in una maniera enorme.
Ci si può aspettare quindi che non converga, cosa confermata dalla verifica della condizione necessaria di convergenza:

$\lim_{n \to \infty }a_n = \infty \neq 0$

da **GustaVittorio** » 1 apr 2014, 22:24

Forse ho capito... dimmi se ragiono bene :
Essendo il limite diverso da 0, nel mio caso +infinito, essendo la serie a termini non negativi.. posso concludere che dunque essa diverge positivamente?

da **Ianero** » 1 apr 2014, 22:31

Sì, e non potrebbe essere diversamente.
Infatti se per ipotesi la serie converge allora necessariamente:

$\lim_{n \to \infty }|s_n - s_{n-1}|= 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } |a_n|=0$

Questo non vuol dire che quando quel limite è nullo possiamo concludere che la serie converge.

da **GustaVittorio** » 1 apr 2014, 22:34

Grazie mille!!
Sono stato frettoloso a voler subito applicare il criterio del rapporto non ragionando sulla CN che, delle volte, fa terminare esercizi che apparentemente sembrano complessi in un poco tempo!!
Grazie mille per le risposte e gli aiuti!

da **Ianero** » 1 apr 2014, 22:41

Prego

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Carattere di una serie numerica

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