ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 23 mag 2014, 9:01

PietroBaima ha scritto:Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come $\sqrt{-1}$

Questo è il primo..

Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita '''solo''' per numeri reali $x \ge 0$

Questo è vero..

o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa

Non ho capito bene cosa voglia dire con "parte principale", forse si riferisce alla parte reale di un numero complesso?

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

è valida solo per valori di a e b reali e non negativi.

Prima ha detto che questa funzione indicata con $\sqrt{ \dot }$ è definita solo per reali positivi.
Parlare delle sue proprietà per i negativi quindi non dovrebbe avere proprio senso..

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da $\pm$ , in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Questa non l'ho proprio capita..

da **clavicordo** » 23 mag 2014, 9:29

Attenzione che la presenza di amici immaginari è un classico sintomo di schizofrenia.... :mrgreen:

da **Ianero** » 23 mag 2014, 10:05

da **PietroBaima** » 23 mag 2014, 12:00

EcoTan ha scritto:Penso che nulla vieta di considerare la sola radice positiva nella posizione iniziale, ma poi nei passaggi successivi compaiono i doppi segni quindi dobbiamo scriverli.

Veramente è da un po' che DD sta scrivendo per demolire questa convinzione errata.
I doppi segni derivano semplicemente dalla restrizione della funzione non biiettiva inversa di x^2

.
In campo complesso non hanno senso, se non come esponenziali.
So anche io che facendo

$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\left(0+2k\pi \mathrm{i}\right)}=2^{\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{k\pi \mathrm{i}$

e se k=0 si ha $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
se k=1si ha $\sqrt{2}=-2^{\frac{1}{2}}$

poi per k>1 si torna ciclicamente alla prima o alla seconda soluzione,
ma questa è una analogia che non deve far confondere la restrizione reale non biiettiva (che prevede, qualora si vogliano considerare i due rami indipendenti della radice contemporaneamente) con il funzionamento dell'esponenziale complesso.
Calcolare, in campo complesso, la radice quinta di 2 è un esempio utile proprio a questo.

da **PietroBaima** » 23 mag 2014, 12:08

clavicordo ha scritto:Attenzione che la presenza di amici immaginari è un classico sintomo di schizofrenia....

E adesso chi glielo spiega a Johnny ? :-M

da **PietroBaima** » 23 mag 2014, 12:33

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come $\sqrt{-1}$ ,

Talvolta si scrivono cose senza senso matematico.

ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale,

io la chiamavo radice quadrata aritmetica, ma è lo stesso. E' quella che si ottiene andando a chiedere per strada alla gente quanto fa radice di 4. Il 99.999% della popolazione risponde 2 (il resto risponde un numero diverso da questo e positivo). Tutti dimenticano che in campo reale c'è anche -2.
Dato che vox populi vox dei si è definita la radice quadrata aritmetica, cioè la sola soluzione positiva all'equazione
x^2=4

Ovviamente i matematici seri non considerano queste cose degne di menzione.

che è definita '''solo''' per numeri reali $x \ge 0$ , o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa.

Aridaje
Vedi cosa diceva DD a proposito della "funzione radice quadrata complessa"

L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

${-1} = i \cdot i = \sqrt{{-1}} \cdot \sqrt{{-1}} = \sqrt{({-1}) \cdot ({-1})} = \sqrt{1} = 1.$

I risultati scorretti arrivano forzando l'esistenza di operatori che in taluni campi non esistono.

La regola

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

è valida solo per valori di a e b reali e non negativi.

No. Basta usare le cose bene. Per esempio, in questo caso basta scrivere $a \cdot b=z^2$ e risolvere come si risolvono le equazioni in campo complesso.
Fantasmi o cose che valgono "a pezzi" in matematica non ce ne sono proprio, senza delle regole certe.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da $\pm$ , in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai il simbolo di radice (quadrata o no) ma scrivere sempre correttamente le equazioni che le generano, e risolverle considerando tutte le loro soluzioni.

da **sedetiam** » 24 mag 2014, 10:09

PietroBaima ha scritto:... questo modo di vedere i numeri richiede... parecchia riflessione!
Fai gli esami, poi se vuoi ti consiglio dei libri. ...

però, intanto che il buon Biagio prepara gli esami :mrgreen:

, potresti anticipare qualche titolo a noi, no ?

da **PietroBaima** » 24 mag 2014, 10:55

Dunque, come prima cosa bisogna rafforzare la teoria dei gruppi, che solitamente viene appena accennata:

John R. Durbin Modern Algebra: An Introduction wiley

dopodichè possiamo passare alle algebre di Clifford

Patrick R. Girard Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics Springer

Come esempio introduttivo divertente, di cui si è parlato sul forum in questi giorni, cliccate qui ;-)

Non posso non citare questo sito fantastico. Risalite anche alla home page. Vale la pena.

Direi che un po' di materiale c'è. Studiamo questo poi passiamo agli approfondimenti.

Ciao,
Pietro.

da **sedetiam** » 24 mag 2014, 13:20

thanks man ! :ok:

da **obiuan** » 17 ago 2015, 12:19

Chiedo scusa se riapro questo post ormai vecchio...è colpa di

simo85 che l'ha riportato alla ribalta col suo articolo...quindi prendetevela con lui! :)

Mi rimane un dubbio che mi viene da un'affermazione di

PietroBaima che mi smonta alcune convinzioni. Io ho sempre considerato sbagliati i seguenti calcoli:

$x^2 = 4 \rightarrow x = \sqrt {4} = \pm 2$

Perché mi è stato insegnato che la "radice quadrata in campo reale è una funzione matematica che ad ogni numero R>=0 associa la soluzione positiva dell'equazione x^2 = R

.

È corretto quindi scrivere:

$x^2 = 4 \rightarrow x = \pm \sqrt {4} = \pm 2$

questo però non va d'accordo con quanto detto da Pietro, nel senso che secondo me alla domanda "qual è la radice quadrata di 4" il 99.9% delle persone risponde 2 a ragione, e se uno rispondesse +-2 sbaglierebbe.

Stesso discorso per me poteva valere per la radice dei numeri complessi. In $\mathbb C$ l'equazione

$z^n = w = |w|e^{i\omega}$

Ha ovviamente n soluzioni, rappresentate dall'equazione:

$z =|w|e^{i\frac{\omega + 2k\pi} {n}}$ con k= 0... (n-1)

Secondo me quindi la radice in $\mathbb C$ aveva senso definendola come:
"La radice n-esima in campo complesso è una funzione matematica che ad ogni numero w in $\mathbb C$ associa la soluzione per k=0 dell'equazione z^n = w

. "

Con questa definizione, essendo

$-1 = e^{i\pi}$

Ottengo
$\sqrt {-1} = |-1|e^{\frac {\pi}{2}} = i$

Dove sbaglio?

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