Polinomio interpolante nodi di Chebichev

Messaggioda **MrFrost** » 2 giu 2014, 10:16

Ciao a tutti,

volevo chiedere lumi sulla risoluzione di questo esercizio.

Costruire il polinomio interpolante $f(x) = \sqrt{x}$ di quinto grado sui nodi di Chebichev in (1,7).

Se non erro la relazione per il calcolo dei nodi è questa: $x_{k} = -\cos\frac{(2k + 1)\pi }{(n + 1)2} \;per K=0,1,2,3,4,5...$ dove n è il grado del polinomio, n = 5 in questo caso e i nodi sono 6.

Quindi essendo indicato l'intervallo (1,7) assegno a k i valori compresi da 1 a 6, determino i nodi e poi
calcolo la tabella delle diffrenze finite?

Grazie
O_/

Messaggioda **MrFrost** » 2 giu 2014, 15:25

leggendo in rete ho trovato che

$x_{k}= \frac{a + b}{2}+ \frac{b - a}{2} \cos\frac{(2k + 1)\pi }{(n + 1)2} \;\; \; \; \; in [a,b]$

$x_{k}= -\cos\frac{(2k + 1)\pi }{(n + 1)2} \;\; \; \; \; in [-1,1]$

Messaggioda **Ianero** » 2 giu 2014, 18:25

I nodi di Chebyshev sono definiti come detto in [2]:

$x_{i}=\frac{b-a}{2}\cos \left( \frac{2i+1}{n+1}\frac{\pi }{2} \right)+\frac{b+a}{2}$

Questo è solo un modo dei tanti di scegliere dei nodi di interpolazione.
Puoi poi interpolare sia con le differenze divise, sia con i polinomi ortogonali di Lagrange, ecc. .

differenze finite

No, per quelle c'è bisogno che siano equispaziati. [-X

Puoi farlo con uno dei metodi che ti ho scritto sopra.

Scegliendo quei nodi si ottiene un ottimo risultato sul massimo della funzione di Lebègue al divergere di n:
$\Lambda _{n}\; \approx\; \frac{2}{\pi }\log n$

dove ho indicato:
$\Lambda _{n}\; =\; \max _{a\; \leq\; x\; \leq\; b}\sum_{j=1}^{n}{\left| \delta _{i}\left( x \right) \right|}$

$\delta _{i}$ i-esimo polinomio di Lagrange.

Questo significa che l'errore di propagazione si attesta asintoticamente su quella quantità, che ti permette di stimarlo facilmente :-)

Messaggioda **MrFrost** » 3 giu 2014, 16:53

Nel ringraziarla,

se ho ben capito, utilizzando la [2] per i=0...5 ottengo 6 ascisse, i cui valori li passo alla funzione indicata per ottenere le ordinate, così da avere una tabella di nodi (x,y).
Poi per calcolare il polinomio interpolante non posso utilizzare la tabella delle differenze divise?

Ianero ha scritto:I nodi di Chebyshev sono definiti come detto in [2]:

$x_{i}=\frac{b-a}{2}\cos \left( \frac{2i+1}{n+1}\frac{\pi }{2} \right)+\frac{b+a}{2}$

Questo è solo un modo dei tanti di scegliere dei nodi di interpolazione.
Puoi poi interpolare sia con le differenze divise, sia con i polinomi ortogonali di Lagrange, ecc. .

differenze finite

No, per quelle c'è bisogno che siano equispaziati.
Puoi farlo con uno dei metodi che ti ho scritto sopra.

Scegliendo quei nodi si ottiene un ottimo risultato sul massimo della funzione di Lebègue al divergere di n:
$\Lambda _{n}\; \approx\; \frac{2}{\pi }\log n$

dove ho indicato:
$\Lambda _{n}\; =\; \max _{a\; \leq\; x\; \leq\; b}\sum_{j=1}^{n}{\left| \delta _{i}\left( x \right) \right|}$

$\delta _{i}$ i-esimo polinomio di Lagrange.

Questo significa che l'errore di propagazione si attesta asintoticamente su quella quantità, che ti permette di stimarlo facilmente

Messaggioda **Ianero** » 3 giu 2014, 17:43

ringraziarla

ringraziarti, per favore

Se mi devo sentire vecchio già adesso è davvero tragico :mrgreen:

se ho ben capito, utilizzando la [2] per i=0...5 ottengo 6 ascisse, i cui valori li passo alla funzione indicata per ottenere le ordinate, così da avere una tabella di nodi (x,y).

La funzione di solito non ti è nota, spesso i nodi ti vengono dati, comunque in linea di principio è corretto.

per calcolare il polinomio interpolante non posso utilizzare la tabella delle differenze divise?

Certo che puoi (sono quelle finite che in questo caso non puoi utilizzare).

Messaggioda **MrFrost** » 4 giu 2014, 0:01

thx!!!

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