Calcolo raggio spettrale matrice iterazione

Messaggioda **Alan1990** » 5 giu 2014, 22:08

Ciao

devo calcolare il raggio spettrale della matrice $A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ di Jacobi e Gauss Seidel

Volevo chiedervi se il procedimento e le relazioni sono corrette :-)

1 - calcolo inizialmente la matrice di iterazione per entrambi i metodi

posto che

$A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} := D - E - F\\$

2 - ottengo le matrici di iterazione applicando le seguenti relazioni

$B_J := - D^{-1}\cdot\left(E+F\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\\$

$B_{GS} :=- \left(D-E\right)^{-1}\cdot F = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\$

3 - calcolo i raggi spettrali per entrambe.

raggio spettrale della matrice di terazione di Jacobi
$\rho\left(B_J\right) := \frac{1}{2} < 1 \\$

raggio spettrale della matrice di terazione di Gauss Seidel
$\rho\left(B_{GS}\right) := \frac{1}{2} < 1 \\$

Grazie

Messaggioda **Ianero** » 6 giu 2014, 8:06

A occhio mi sembra di si, sono con il cellulare e non vorrei aver preso sviste.
Ma scusa perché splittare le matrici in quel modo, perché non applichi semplicemente la definizione senza introdurre segni negativi?

Messaggioda **Alan1990** » 6 giu 2014, 17:09

Ciao

quindi dovrei eliminare il segno meno dalle relazioni ?

$B_J := D^{-1}\cdot\left(E+F\right) =$

$B_{GS} := \left(D-E\right)^{-1}\cdot F =$

avevo trovato una piccola guida sull'argomento e lì erano indicati.... ?^!

Ianero ha scritto:A occhio mi sembra di si, sono con il cellulare e non vorrei aver preso sviste.
Ma scusa perché splittare le matrici in quel modo, perché non applichi semplicemente la definizione senza introdurre segni negativi?

Messaggioda **Alan1990** » 6 giu 2014, 17:19

Ciao

quindi posso eliminare il segno negativo - da entrambe le relazioni che calcolano le matrici di iterazione?

Messaggioda **Ianero** » 6 giu 2014, 20:06

No, definite come le hai definite tu sono coerenti.
Io ti dicevo solo di semplificarti la vita senza troppi segni

Guarda ad esempio il metodo di Jacobi:

AX=B

$\left[ \left( A-D \right)+D \right]X=B$
$\left( A-D \right)X+DX=B$
$DX=-\left( A-D \right)X+B$
$X=-D^{-1}\left( A-D \right)X+D^{-1}B$

$\mbox{C}:=-D^{-1}\left( A-D \right)$
$Q:=-D^{-1}B$

$X^{\left( k+1 \right)}=\mbox{C}X^{\left( k \right)}+Q$

$\mbox{C}$ è la matrice di iterazione che devi calcolare.

Più facile, no? :-)

Ora prova tu a ricavare le matrici del metodo di Gauss-Seidel

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