ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **oiram92** » 17 giu 2014, 20:00

ciao a tutti, ho svolto questo esercizio in regime stazionario ed ho un piccolo dubbio sulla risoluzione del problema di cauchy..

Immagine

Determinare l'andamento di v_C(t)

per

Condizioni iniziali

i_R=0 A

Circuito per t>0

$C \frac{dv_C}{dt} = i_L$
$i_R = \frac{v_g}{r_m+R}$

$v_C+L \frac{di_L}{dt} = \frac{v_g}{r_m+R}$
$LC \frac{d^2v_C}{dt^2}+v_C= \frac{v_g}{r_m+R}$
$\frac{d^2v_C}{dt^2}+\frac{v_C}{LC} = \frac{v_g}{LC(r_m+R)}$

$\frac{d^2v_C}{dt^2} + \frac{3}{4} v_C = \frac{3}{32}$

le radici sono complesse :

$\lambda = \frac{\sqrt 3 }{2} i ; - \frac{\sqrt 3}{2} i$

quindi l'andamento di v_C

dovrebbe essere :

$v_C(t) = k_1 e^0 \cos \left (\frac{\sqrt 3 }{2} t \right )+ k_2 e^0 \sin \left (-\frac{\sqrt 3 }{2} t \right ) + \frac{3}{32}$

per determinare k_1, k_2

dovrei imporre le condizioni iniziali quando $t -> \infty$ giusto? ma come si fa? matematicamente abbiamo una funzione oscillante tra $-\infty$ e $+\infty$

da **MrCannelloni** » 17 giu 2014, 20:06

scusami, cos'è rm iR??

da **oiram92** » 17 giu 2014, 20:08

è un generatore di tensione pilotato in corrente, in questo caso è pilotato dalla corrente che che scorre nel resistore

ps : ho notato un errore..l'equazione differenziale corretta dovrebbe essere :

$\frac{d^2v_C}{dt^2}+\frac{3}{4} v_C = \frac{3}{8}$

comunque, a parte la modifica dell'integrale particolare, le radici restano invariate..

da **MrCannelloni** » 17 giu 2014, 20:44

I tuoi passaggi non mi convincono molto:
potrei sbagliarmi, ma qua pare tu stia considerando il generatore pilotato come una resistenza rm e non mi sembra giusto
...
$i_R = \frac{v_g}{r_m+R}$
...
[/quote]
sempre seguendo i tuoi passaggi credo che qui tu abbia dimenticato di moltiplicare l'equazione a destra per la resistenza R

oiram92 ha scritto:...
$v_C+L \frac{di_L}{dt} = \frac{v_g}{r_m+R}$

In ogni caso, in generale quando si ha bisogno di calcolare le costanti che tu hai chiamato k1 e k2, una volta ottenuto l'eqauzione corretta di questa:

oiram92 ha scritto:c
...
$v_C(t) = k_1 e^0 cos(\frac{sqrt(3)}{2} t)+ k_2 e^0 sin(-\frac{sqrt(3)}{2} t) + \frac{3}{32}$
...

bisogna imporre t=0 in modo dale da avere, nel tuo caso:
$v_C(0) = 0 = k_1 cos(0)+ k_2 sin(0) + \frac{3}{32}$
$d v_C(0)/dt = \frac{iL(0)}{C} = 1/C = k_1 \frac{sqrt(3)}{2} cos(0)+ \frac{3}{32}$

Spero di esserti stato utile, perdonami se non riesco ad essere più chiaro O_/

da **gill90** » 17 giu 2014, 21:07

MrCannelloni ha scritto:ma qua pare tu stia considerando il generatore pilotato come una resistenza rm e non mi sembra giusto
$i_R = \frac{v_g}{r_m+R}$

In realtà questo è giusto, per la struttura della rete se consideri nelle equazioni il ramo con i_r

questa è a tutti gli effetti una resistenza, si ottiene considerando la LKT:
v_g=r_mi_R+Ri_R

che risolta per i_R

dà proprio quell'espressione.
Giustamente, quello che non è corretto è invece il passaggio

oiram92 ha scritto: $v_C+L \frac{di_L}{dt} = \frac{v_g}{r_m+R}$

in cui hai nel membro a sinistra tensioni e in quella a destra correnti.
Che il risultato non sia giusto lo puoi dire guardando lo schema: quella che tu hai ottenuto è una risposta oscillante, significa che le grandezze del sistema non verranno smorzate e rimarranno ad inviluppo costante anche a regime. Ma se consideri la rete a regime ( $t\rightarrow \infty)$ hai (d'ora in poi posta sempre gli schemi con FidoCadJ):

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Che a regime fornisce una tensione fissa e stabile per v_c

, che vale $v_c=v_r=v_g\frac{R}{R+r_m}$ .

da **RenzoDF** » 17 giu 2014, 21:24

Mah!

da **Mariacarmela** » 17 giu 2014, 21:47

Io aggiusterei l ultimo pezzo (parlo dal punto di vista del linguag. matematico)

da **PietroBaima** » 17 giu 2014, 21:50

Io rifarei da capo risolvendolo come si deve.

da **RenzoDF** » 17 giu 2014, 22:16

... io tirerei fuori l'induttore dal cestino. :mrgreen:

... che ne dici

gill90

Un condensatore ... senza un induttore ... si potrebbe annoiare.

Come ha già suggerito

PietroBaima, consiglio poi a

oiram92 di rifare per bene, tutti i calcoli. :ok:

Le condizioni iniziali, per il calcolo dei coefficienti, come ti è già stato suggerito, sono le seguenti

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{C}}(0+)=0\,\text{V} \\ & {{\left. \frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{{{i}_{C}}(0+)}{C}=\frac{{{i}_{L}}(0+)}{C}=2\,\,\frac{\text{V}}{\text{s}} \\ \end{align} \right.$

L'integrale particolare te lo ricavi dalla relazione da te postata in [3], dove è facile vedere che una particolare soluzione costante per vC(t) porta l'uguaglianza ad essere soddisfatta.

da **gill90** » 17 giu 2014, 22:41

Hai ragione, che mona! A fare le cose troppo in fretta ho tolto troppa roba interessante... #-o

Grazie della correzione

RenzoDF!

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Risoluzione problema di cauchy

[1] Risoluzione problema di cauchy

[2] Re: Risoluzione problema di cauchy

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