Insiemi della matematica

[DirtyDeeds]

Ti riferivi all'assioma dell'infinito e quindi agli insiemi induttivi?

A quello, ma non solo. L'assioma dell'infinito dichiara che esiste un più piccolo insieme induttivo, e questo lo chiamiamo insieme dei numeri naturali. Ma se ci si fermasse qui, mancherebbero le operazioni tra numeri naturali: somma, prodotto ed elevamento a potenza. Per definire queste, c'è bisogno del teorema di ricorsione. Una volta definiti i naturali e le operazioni su di essi si possono poi definire gli interi relativi come classi di equivalenza di coppie ordinate di naturali e i razionali come classi di equivalenza di coppie ordinate di interi relativi. Le operazioni su questi insiemi possono essere definite a partire dalle operazioni definite per i naturali. E infine si possono definire i reali a partire dai razionali, come classi di equivalenza di successioni di Cauchy o come tagli alla Dedekind, e i complessi come coppie di numeri reali.

La storia non finisce qui, come ti ha anche raccontato PietroBaima: per esempio, i quaternioni si possono definire a partire dalle matrici unitarie 2X2.

Insomma, tutti i numeri si possono costruire a partire dalla teoria degli insiemi e, in particolare, dal più piccolo insieme induttivo.

C'è anche però chi preferisce andare al contrario e partire da , dove tale insieme è definito come un qualunque insieme soddisfacente ad alcuni assiomi (bisogna però poi chiedersi se tale insieme esiste). Una volta definito , si possono definire gli altri numeri come opportuni sottoinsiemi di e le operazioni vengono ereditate automaticamente da quelle di .

[Ianero]

teorema di ricorsione

Rispondo e vado a vedere di cosa si tratta.

Una volta definiti i naturali e le operazioni su di essi si possono poi definire gli interi relativi come classi di equivalenza di coppie ordinate di naturali

Mi viene in mente questo:

e i razionali come classi di equivalenza di coppie ordinate di interi relativi.

E infine si possono definire i reali a partire dai razionali, come classi di equivalenza di successioni di Cauchy o come tagli alla Dedekind

Ne riparliamo tra un po', sollecito io

e i complessi come coppie di numeri reali.

C'è anche però chi preferisce andare al contrario e partire da , dove tale insieme è definito come un qualunque insieme soddisfacente ad alcuni assiomi (bisogna però poi chiedersi se tale insieme esiste). Una volta definito , si possono definire gli altri numeri come opportuni sottoinsiemi di e le operazioni vengono ereditate automaticamente da quelle di .

E poi però per i complessi bisogna di nuovo parlare di coppie ordinate, no?

[6367]

Che bello! la costruzione dei numeri era stata fatta con un certo rigore nel mio Analisi 1 ....

Mi viene in mente questo:

Volendo si può fare ma... esistono coppie più eleganti!

[DirtyDeeds]

Mi viene in mente questo:

Come scritto da 6367 esistono coppie più eleganti, anche perché con quella da te proposta l'estensione delle operazioni a partire da quelle dei naturali è un po' farraginosa. Riprova, sarai più fortunato

e i razionali come classi di equivalenza di coppie ordinate di interi relativi.

Sì, l'idea è quella, ma mancano un po' dettagli: un numero razionale è una classe di equivalenza. Che relazione di equivalenza definiresti?

e i complessi come coppie di numeri reali.

Sì, ma anche qui manca qualche dettaglio: prima bisogna definire di somma e prodotto tra coppie ordinate, poi si identifica con l'insieme delle coppie del tipo e infine si pone .

E poi però per i complessi bisogna di nuovo parlare di coppie ordinate, no?

Sì.

[Ianero]

Prima di provare a fare qualche relazione, vorrei prima assicurarmi che e rappresentino due elementi diversi nei razionali, o siano lo stesso indicato in forme diverse.
Perché la relazione di equivalenza potrebbe rendere equivalenti proprio questi elementi..

Poi, coppie più eleganti...

[DirtyDeeds]

vorrei prima assicurarmi che e rappresentino due elementi diversi nei razionali,

rappresentano tutti lo stesso numero razionale, sono membri della stessa classe di equivalenza.

Poi, coppie più eleganti...

Uh, per carità! Prova a definire la somma con quella definizione...

No, considera le coppie ordinate di naturali e su di esse definisci la relazione di equivalenza (ricordati che sui numeri naturali non è definita la differenza, ma solo la somma):



Quindi, per esempio, . L'insieme degli interi relativi è l'insieme quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza. L'insieme delle coppie del tipo è identificato con gli interi positivi, mentre l'insieme delle coppie del tipo è identificato con l'insieme dei numeri negativi. L'operazione di somma può essere definita a partire dalla somma per i numeri naturali:



Denotando le coppie del tipo con e quelle del tipo con si ha



Quindi la coppia corrisponde, nella scrittura più comune, all'intero .

[6367]

Imparai queste cose moltissimi anni fa, sull'Enciclopedia delle matematiche elementari della Hoepli!
Le ritrovai diversi anni dopo studiando all'università.

[DirtyDeeds]

Le ritrovai diversi anni dopo studiando all'università.

Purtroppo credo che ora nei corsi di analisi non venga più fatta...

[Ianero]

sono membri della stessa classe di equivalenza.

C'avevo azzeccato

Uh, per carità! Prova a definire la somma con quella definizione...

Perché è così strana?

Purtroppo credo che ora nei corsi di analisi non venga più fatta...

Confermo

[DirtyDeeds]

Perché è così strana?

Non è strana, semplicemente non la puoi definire così: la devi definire a partire dalle operazioni già definite sui numeri naturali, non hai altre operazioni a disposizione.