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Diamo i numeri 2

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[41] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 lug 2014, 20:14

Perché non posso farlo?
Ah, dimenticavo di chiedere, perché non è asintotica a quella retta? Se ne calcolo il limite del rapporto viene una costante..
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[42] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 20:19

Ianero ha scritto:Perché non posso farlo?

perché trovi una ovvietà.
Trovi il fatto che quella funzione è compresa tra... se stessa e poi ne fai il limite.
Questo funzionerebbe con qualunque funzione :D

Ianero ha scritto:Ah, dimenticavo di chiedere, perché non è asintotica a quella retta? Se ne calcolo il limite del rapporto viene una costante..

Sto già scrivendo ;-)
Tra un po' ho finito...
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[43] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 2 lug 2014, 21:02

perché trovi una ovvietà.

Ho solo detto che quella disuguaglianza vale fino a un infinitesimo superiore a 1, perché posso ripetere correttamente per tutti questi valori la maggiorazione dell'esponenziale.
Non vedo l'ovvietà :?
Perché i ragionamenti che ci sono in quel passaggio sono errati?

Sto già scrivendo

Ti ringrazio :)
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[44] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 21:17

Il problema della soluzione di limiti per funzioni implicite è un problema annoso, rompiscatole e maledettamente necessario in fisica, che barba.

Per risolvere questo tipo di limiti, un metodo generale è quello delle funzioni speciali.
Una è la funzione Gamma di Stirling, per generalizzare il fattoriale, ne parleremo asap in "Diamo i numeri 3", magari mi ci metto domani. Ma ce ne sono molte altre.

Quando bisogna risolvere funzioni implicite non esplicitabili, trascendenti o che comunque non conviene esplicitare (spesso anche per questioni di comportamento numerico) conviene utilizzare una qualche funzione speciale. Ce ne sono molte.
Scegliere quella giusta è come scegliere l'anguria buona al mercato, non puoi essere sicuro della tua scelta, ma puoi cercare di intuire... :D

Nei casi in cui la parte che da fastidio è un esponenziale, come in questo caso, in genere conviene utilizzare la W di Lambert.

Questa funzione, che chiameremo W(z) è definita così:

z=W(z)\ \text{e}^{W(z)}

Ho messo z perché questa funzione è estendibile al campo complesso. E' una funzione molto utile in meccanica quantistica.

Una proprietà facile da dimostrare di questa funzione è, in campo reale, la sua confrontabilità, verso infinito, al logaritmo.

Dalla definizione:

z=W(z)\ \text{e}^{W(z)}

facendo il log di entrambi i membri ho:

\log z=W(z)+\log W(z)

da cui

1=\frac{W(z)}{\log z}+\frac{\log W(z)}{\log z}

quindi

\lim_{z \rightarrow +\infty}1=\lim_{z \rightarrow +\infty}\frac{W(z)}{\log z}+\frac{\log W(z)}{\log z}

1=\lim_{z \rightarrow +\infty}\frac{W(z)}{\log z}+\frac{\log W(z)}{\log z}

Ragioniamo.
Il primo membro dice che il limite deve essere finito, per cui la funzione W deve essere confrontabile al logaritmo di z oppure deve esserlo il suo logaritmo, verso infinito.
Se lo fosse il suo logaritmo l'altro addendo divergerebbe, quindi ciò non è possibile.
Deve esserlo quindi la funzione stessa.
Se lo è la funzione stessa, confrontata con il logaritmo, prenderne il logaritmo e confrontarlo con il logaritmo di zeta significa ottenere zero.
Abbiamo quindi che:

\lim_{z \rightarrow +\infty}\frac{W(z)}{\log z}=1

Sui testi che parlano di Lambertiane si possono trovare altre proprietà davvero interessanti.

Noi però dobbiamo calcolare:

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}

con

{\displaystyle f(x)=a\ \text{e}^{{\textstyle \frac{x-b\ f(x)}{c}}}}

(a,b,c)\in \mathbb{R}^3

Quindi

{\displaystyle f(x)=a\ \text{e}^{{\textstyle \frac{x}{c}}} \text{e}^{{\textstyle \frac{-b\ f(x)}{c}}}}

{\displaystyle \frac{b\ a}{c}\ \text{e}^{{\textstyle \frac{x}{c}}}=\frac{b}{c} f(x) \text{e}^{{\textstyle \frac{b\ }{c}}f(x)}}

Adesso osservando l'ultima espressione che ho ricavato e confrontandola con la definizione:

z=W(z)\ \text{e}^{W(z)}

posso scrivere che:

W\left( \frac{b\ a}{c} \text{e}^{\textstyle \frac{x}{c}} \right)=\frac{b}{c}\ f(x)

da cui ovviamente:

f(x)=\frac{c}{b} W\left( \frac{b\ a}{c} \text{e}^{\textstyle \frac{x}{c}} \right)

Quindi devo calcolare

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x}\frac{c}{b} W\left( \frac{b\ a}{c} \text{e}^{\textstyle \frac{x}{c}} \right)

Pongo \frac{b\ a}{c} \text{e}^{\textstyle \frac{x}{c}}=t

se x \rightarrow +\infty allora t \rightarrow +\infty

e il limite diventa:

\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{1}{b}\frac{W(t)}{\log \left( \frac{c}{b\ a}\right)+\log t}=\frac{1}{b}

dato che abbiamo ricavato che W(z) è confrontabile con log(z) per z che tende a più infinito.

Poi devo tirare scherzosamente le orecchie a Foto UtenteIanero :D
Se una funzione è confrontabile con un'altra non significa che è ad essa asintotica.

In questo caso voglio vedere se la nostra f(x) è asintotica ad una retta.
Devo quindi verificare che esista un asintoto obliquo ad una retta, che devo trovare.

Ricordando Analisi I, per trovare un asintoto obliquo si procede in questo modo:
  1. bisogna calcolare \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x);
  2. se il limite è infinito si passa al punto seguente, altrimenti non c'è asintoto;
  3. bisogna calcolare \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x};
  4. se questo limite è finito e non nullo (chiamiamo questo valore m) significa che la funzione è confrontabile con una retta e si passa al punto successivo, altrimenti non c'è asintoto;
  5. bisogna calcolare \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-m\ x, se questo limite è finito (chiamiamo questo valore q) la funzione f(x) ha un asintoto obliquo a y=m\ x+q altrimenti non c'è asintoto.

Facciamo un esempio di una funzione che sembra avere un asintoto ma non ce l'ha:

f(x)=x+\sqrt x

Punto 1. e 2. verificati, per x che va ad infinito la funzione diverge.
Punto 3. e 4. verificati, se calcolo quel limite trovo ovviamente 1.
Punto 5. e 6. no. Se calcolo quel limite trovo che diverge. Non ci sono asintoti.

Questo succede perché la radice di x non diventa trascurabile ad infinito, ma continua a crescere, pur restando "sottomessa" alla retta.
Ecco il grafico delle due funzioni tra 0 e 1:

rettadice1.gif
rettadice1.gif (3.17 KiB) Osservato 1282 volte


e tra 1milione 900 mila e 2 milioni:

rettadice2.gif
rettadice2.gif (4.04 KiB) Osservato 1282 volte


Come vedi l'asintoticità è solo apparente. Infatti l'unica condizione che non si verifica è l'ultima.
Roba da tema d'esame di Analisi 1, no? :D

Vediamo adesso l'asintoticità della nostra f(x) ad una retta.

Dimostrare che:
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) diverge è banale.

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{b}

Quindi resta da calcolare:

\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-\frac{x}{b}

La gara è aperta :!:

Ciao,
Pietro.

PS: il fatto che la funzione non sia asintotica ad una retta non significa che non sia asintotica ad una parabola o a qualche altra funzione, ovviamente.
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[45] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 21:20

Ianero ha scritto:Perché i ragionamenti che ci sono in quel passaggio sono errati?

Prova a scambiare i due limiti...
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[46] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 2 lug 2014, 21:42

PietroBaima ha scritto:Roba da tema d'esame di Analisi 1

Infatti, nella comune parabola conica
y=a \cdot x^2
la pendenza tende ad infinito ma non c'è alcun asintoto verticale (invece c'è un punto di tangenza con la retta all'infinito del piano)
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[47] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 22:26

EcoTan ha scritto:
PietroBaima ha scritto:Prova a scambiare a caso le tre righe che ho evidenziato in rosso.

Ho provato, non cambia nulla.


Urca, non mi ricordavo più che l'epsilon di macchina del qbasic fosse così modesto. :(

Per provare la mia supposizione ho replicato il tuo programma in Mathematica, con questo codice:

Codice: Seleziona tutto
y[n_] := 1 - 8^-n
f[a_] := Table[{N[y[n],
    a], (N[y[n], a] - 1)*(N[y[n], a] - 1)/(Cos[Pi/2/N[y[n], a]])*(Tan[
      Pi/2*N[y[n], a]])}, {n, 1, 10}]


Il parametro a forza la precisione di macchina ad arrestarsi ad un certo numero di cifre significative.
Con 5,10 e 13 cifre significative si ottiene:

ecotan.png


Hai problemi di epsilon di macchina, l'algoritmo numerico diverge.
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[48] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 2 lug 2014, 22:40

Non è che ho capito tanto bene. Nel quickBasic non mi pare che ci sia il parametro a per forzare la precisione di macchina, ho soltanto definito alcune variabili in doppia precisione (floating con 64 bit, ritengo) aggiungendo un carattere # al nome della variabile. Poi ho provato, come tu mi hai suggerito, a cambiare l'ordine con cui faccio le operazioni per calcolare la funzione, ed ho notato, anche con una certa sorpresa, che di tutte quelle cifre che compaiono nella tabella non ne cambia nessuna. Questo non mi pare proprio che sia un difetto! (il limite della funzione per x tendente ad uno, deve venire correttamente zero, o no?)
Invece approfitto di questo post per fare un po' di retromarcia sulla faccenda della parabola. La pendenza della curva c'entra poco, per cercare gli asintoti bisogna esaminare il rapporto e non la derivata, come giustamente hai scritto nella condizione numero 4.
Ultima modifica di Foto UtenteEcoTan il 2 lug 2014, 22:57, modificato 1 volta in totale.
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[49] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 2 lug 2014, 22:56

Chapeau Foto UtentePietroBaima! =D> =D> =D>

Un altro modo veloce di trovare il limite, ma che contiene un certo numero di aspetti delicati, è il seguente. Sia x>0, si ha

\frac{f(x)}{x}=\frac{a}{x}\exp\left[x\frac{1-bf(x)/x}{c}\right]

Adesso assumiamo che il limite cercato esista finito e denotiamolo con L; assumiamo anche f(x) sia una funzione continua, almeno nella regione di interesse. Se L\neq 1/b, per la continuità delle funzioni coinvolte, si può scrivere

L = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a}{x}\exp\left[x\frac{1-bL}{c}\right]

Avendo assunto L\neq 1/b, la frazione (1-bL)/c è diversa da zero: se tale frazione è positiva, l'esponenziale diverge e il limite al secondo membro non può essere finito; viceversa, se tale frazione è negativa, l'esponenziale è decrescente e il limite al secondo membro è nullo.

Quindi, se con le assunzioni scritte sopra,

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}

esiste finito, o vale 1/b o vale 0.
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
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[50] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 23:00

EcoTan ha scritto:Non è che ho capito tanto bene. Nel quickBasic non mi pare che ci sia il parametro a per forzare la precisione di macchina, ho soltanto definito alcune variabili in doppia precisione (floating con 64 bit, ritengo) aggiungendo un carattere # al nome della variabile. Poi ho provato, come tu mi hai suggerito, a cambiare l'ordine con cui faccio le operazioni per calcolare la funzione, ed ho notato, anche con una certa sorpresa, che di tutte quelle cifre che compaiono nella tabella non ne cambia nessuna. Questo non mi pare proprio che sia un difetto! (il limite deve venire correttamente zero, o no?)

Io sono anni che non uso più il qbasic, e non mi ricordo più molto, purtroppo.
Il limite deve fare -\frac{4}{\pi^2} (confronta il post [2]).
Il fatto che tu non ottenga alcun cambiamento scambiando quelle righe potrebbe essere anche un brutto segno, non necessariamente un buon segno.
Per esempio anche quando c'è cancellazione numerica si ottengono dei problemi di questo tipo, anche difficili da identificare.
Se noti le ridotte tendono a fuggire da -\frac{4}{\pi^2}, che, numericamente vale circa -0.405
Guarda l'implementazione dell'algoritmo su mathematica, vedrai che l'algoritmo è forzato a partire prima di quel valore, poi lo oltrepassa e ovviamente finisce nel buco nero dell'eps, quindi va verso zero.
Se guardi il tuo algoritmo vedrai che le ridotte sono già in direzione dello zero, indice di un ridotto eps di macchina.

EcoTan ha scritto:Invece approfitto di questo post per fare un po' di retromarcia sulla faccenda della parabola. La pendenza della curva c'entra poco, per cercare gli asintoti bisogna esaminare il rapporto e non la derivata, come giustamente hai scritto nella condizione numero 4.

Vorrei farti fare retromarcia sulla retromarcia.
Il limite:

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}

è successivo alla verifica che vuole

\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty

per cui è una forma indeterminata del tipo infinito su infinito.
Applicando De l'Hopital viene quindi fuori che il limite

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}

è equivalente a:

\lim_{x \rightarrow +\infty} f^\prime (x)

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