ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 16:08

PietroBaima ha scritto:
fairyvilje ha scritto:La prima cosa è la derivata nel punto 0

Sicuro?

Ovviamente non ne sono sicuro :mrgreen:

. Quando si parla di analisi non lo sono mai.
Non si applica il teorema fondamentale del calcolo integrale?

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:08

certo

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 16:10

Che evidentemente sbaglio ad applicare visto che il limite alla fine mi risulta 1 :mrgreen:

. Suggerimento?

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:11

la definizione di derivata non è mica quella, ma è molto diversa.
Guarda anche graficamente cosa succede alla tua interpretazione di derivata...

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 16:14

Quella che sto considerando è la derivata a destra nel punto 0?
Ci penso un attimo :)

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:19

pensa pensa

da **Ianero** » 3 lug 2014, 16:21

passaggi!

Da qui ho visto che non può divergere:

$0 \leq \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{1+t^{2}} \text{d} t}{x^2}\leq \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x} \sin t \; \text{d} t}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

e poi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{1+t^{2}} \text{d} t}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{F\left( x \right)-F\left( 0 \right)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{F'(x)}{x^2}$

Ho applicato de l'Hopital poiché il limite deve essere finito, per cui $\frac{F\left( x \right)}{x^{2}}$ al limite deve fornire obbligatoriamente una forma indeterminata.

Ma $F'\left( x \right)=\frac{\sin x}{1+x^{2}}$ , quindi:

$\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{2x\left( 1+x^{2} \right)}=\frac{1}{2}$

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:26

Concordo, anche io avrei applicato De L'Hopital, ma me la sarei presa con più tranquillità.

L'integrale non può divergere perché l'intervallo di integrazione è puntiforme, la funzione non diverge e l'integrale non è distribuzionale.
Essendo l'intervallo di integrazione puntiforme l'integrale deve tendere a zero.

Quindi si ha una forma inderminata del tipo 0/0 per

$\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{K(x)-K(0)}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{k^{\prime}(x)}{2}=\frac{1}{2}$

Quindi è un esercizio relax, 2 passaggi :mrgreen:

da **Ianero** » 3 lug 2014, 16:33

Capito

Non so cosa voglia dire:

l'integrale non è distribuzionale

Vedo se trovo qualcosa intanto

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:42

Naaa... lo vedremo nei prossimi diamo i numeri...
Elaborare tecniche rapide per risolvere gli esercizi è cosa buona e giusta.

Per esempio:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}$

l'obiettivo è trovare il metodo più veloce possibile per risolverlo.

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