ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DirtyDeeds** » 3 lug 2014, 16:43

PietroBaima ha scritto: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}$

l'obiettivo è trovare il metodo più veloce possibile per risolverlo.

Questo è facilissimo, fa

$\frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}$

:mrgreen:

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 16:44

acc.. sei stato più veloce tu a rispondere che io a correggere !!!!
ok... nice strike :!:

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 18:02

Le vostre soluzioni sono chiare, ma non riesco a trovare l'inghippo di come lo stavo facendo io

. Qualche volontario che mi fa vergognare di me stesso :mrgreen:

?

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 18:44

L'ultimo fa -1?

$\frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}} = \frac{(n-\sqrt{1+n^2})(n+\sqrt{1+n^2})}{(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2})}= -\frac{1}{(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2})}$

Ora torno a svolgere il limite espandendo taylor al secondo termine per il coseno e verificando immediatamente che il secondo fattore è asintotico a

$(n-n\ \cos \frac{1}{n})(n+\sqrt{1+n^2}) = (n -n(1-\frac{1}{2n^2}))(2n) = 1$

Quindi il limite è -1

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 18:49

fairyvilje ha scritto:Qualche volontario

Nella derivata il punto che si "stringe" contro il primo e che definisce la retta tangente dipende da x.
Nel tuo caso no.
In pratica il punto è fermo e quindi non ha alcun ruolo sulle variazioni.
Motivo tale per cui facendo la derivata sparisce.

da **PietroBaima** » 3 lug 2014, 18:53

fairyvilje ha scritto:Quindi il limite è -1

Sì, ma (adesso ti stuzzico un po') esiste un metodo infinitamente più veloce per vederlo

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 19:14

Grazie per la risposta.
Persino più veloce? Provo a guardarlo di nuovo.

da **gill90** » 3 lug 2014, 20:23

Io ho trovato questa: divido per

a numeratore e denominatore e sostituisco $t=\frac{1}{n}$ :

$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+t^2}}{1- \cos t}$

Senza scomodare Taylor, un Hopital veloce rende:

$\lim_{t \rightarrow 0} -\frac{2t}{2\sqrt{1+t^2} \sin t}$

Ma poiché il limite notevole $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1$ , semplificando i 2 e sostituendo t=0 resta

.

da **fairyvilje** » 3 lug 2014, 20:30

Bello, ma Pietro ha promesso un metodo infinitamente più veloce, mi aspetto una soluzione... istantanea :mrgreen:

da **gill90** » 3 lug 2014, 20:33

Infatti, penso anche io ci sia qualche sortilegio sotto!

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